Глава 5. Предел функции

5.1. Понятие функции

5.2. предел функции в точке

5.3. Критерий Коши

5.4. Односторонние пределы

5.5. Свойства предела функции

5.6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Глава 5

Предел функции

5.1. Понятие функции

Во времена Исаака Ньютона под функцией понимали некоторую аналитическую формулу типа

$$S(t)=\displaystyle{\frac{gt^2}{2}},\quad F(r)=\displaystyle{\frac{\gamma}{r^2}},\quad f(t)=A\cos(\omega_0+\omega t).$$

Более общее определение предложили Е.Дирихле и А.И.Лобачевский. При этом основным неопределяемым понятием принимается понятие соответствия: $x\mapsto y$.

Например, между элементами множества $X$ и элементами множества $Y$ установлено соответствие $f$. Причем не всем элементам из $X$ поставлены в соответствие элементы из $Y$, не все элементы из $Y$ поставлены в соответствие элементам из $X$, и соответствие неоднозначно (см. рис. 5.1.1, 5.1.2).

Рис. 5.1.1

Соответствие $f$ между элементами множеств $X$ и $Y$ называется функцией, если любому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие единственный элемент $y\in Y$ (это записывается следующим образом: $f:\ X\to Y$ или $y=f(x)$).

Рис. 5.1.2

Приняты следующие определения и обозначения:

$X=D(f)$ -- область определения функции $f$;

$Y$ -- область значений функции $f$;

$f\left(X\right)=E(f)$ -- полный образ множества $X$ при отображении $f$, или множество значений функции $f$;

$x$ -- прообраз элемента $y$ при данном соответствии $y=f(x)$;

$y$ -- образ элемента $x$;

$f^{-1}(y)=\left\{x\in X:\ f(x)=y\right\}$ -- полный прообраз элемента $y$.

При помощи соответствия можно задать, например, такую сложно устроенную функцию:

$$y=D(x)=\cases{ 1, &если $x$ --- рациональное число;\cr 0, &если $x$ --- иррациональное число.\cr }$$

Эта функция носит название функции Дирихле.

Соответствие, задаваемое функцией, удобно изображать в виде графика: $\ \Gamma_f=\left\{(x,f(x)),x\in X\right\}$.

В курсе математического анализа в основном рассматриваются числовые функции, т. е. такие, что $X,Y\subset{\mathbb{R}}$.

Основные типы функций:

1) $f:\ X\to Y$ сюръективна (отображает $X$ на $Y$), если $f\left(X\right)=Y$ (или, что то же самое: $\forall\ y\in Y:\ f^{-1}(y)\ne\varnothing$), см. рис. 5.1.3;

Рис. 5.1.3

2) $f:\ X\to Y$ инъективна, если различные элементы из $X$ имеют различные образы в $Y$ (см. рис. 5.1.4);

3) $f:\ X\to Y$ биективна или взаимно однозначна, если функция $f$ сюръективна и инъективна (см. рис. 5.1.5);

Рис. 5.1.4                                       Рис. 5.1.5

Пусть даны две функции $f:\ X\to Y$ и $g:\ Y\to Z$. Функция $h:\ X\to Z$, определяемая равенством $h(x)=g\left(f(x)\right)$, называется сложной функцией (или суперпозицией функций) от $f$ и $g$.

Пример 5.1.1. $f(x)=x^2,\ \ g(y)=\sin y$. Тогда $h(x)=g\left(f(x)\right)=\sin{x^2}$, $q(x)=f\left(g(x)\right)=\left(\sin x\right)^2$.
Ясно, что, вообще говоря, $g\left(f(x)\right)\ne f\left(g(x)\right)$.

Если определена функция $f:\ X\to Y$, которая есть наложение на $Y$, то на $Y$ определено соответствие $y\to f^{-1}(y)$. Это соответствие будет функцией, если оно однозначно, т. е. для любого $y\in Y,\ f^{-1}(y)$ состоит из одного и только одного элемента. В таком случае эта функция называется обратной функцией к функции $f$ и обозначается $f^{-1}:\ Y\to X$, или $x=f^{-1}(y)$.

Пример 5.1.2. Пусть $y=x^2,\ X=[0,2],\ Y=[0,4]$. Тогда $x=f^{-1}(y)=+\sqrt y.$

5.2.Предел функции в точке

Определение предела функции по Гейне. Пусть в каждой точке интервала $(a,b)$, кроме, быть может, точки $x_0\in (a,b)$, определена функция $f$ (см. рис. 5.2.1).

Рис. 5.2.1

Число $A$ называется пределом функции $f$ при стремлении $x$ к $x_0$, если для любой последовательности $\left\{x_n\right\}$ такой, что

$$\left\{x_n\right\}\subset(a,b),\ \ x_n\ne x_0,\ \ x_n\to x_0, \ n\to\infty,$$

последовательность $f(x_n)$ значений функции $f$ сходится к $A$ при $n\to\infty$. В этом случае пишут

Пример 5.2.1. Пусть

$$f(x)=\displaystyle{\frac{2x^2+x-1}{x-1}},\quad (a,b)=(-1,1).$$

Тогда

$$\lim_{x\to 0}{f(x)}=\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}= \lim_{n\to\infty}{\displaystyle{\frac{2x_n^2+x_n-1}{x_n-1}}}=1,$$

так как $x_n\to0.$

Пример 5.2.2. Пусть

$$f(x)=\sin\displaystyle{\frac{1}{x}},\quad (a,b)=(-1,1).$$

Предел функции $f(x)$ при $x\to0$ не существует, так как для $x_n=\displaystyle{\frac{1}{n\pi}}\to0$ значения функции $f(x_n)=\sin{n\pi}=0$, а для ${x^{'}_n}=\displaystyle{\frac{2}{4n\pi+\pi}}\to0$, $f({x^{'}_n})=\sin{\displaystyle{\frac{1}{x^{'}_n}}}=\sin(2n\pi+\pi/2)=1\ne0$.

Определение предела функции по Коши. Пусть в каждой точке интервала $(a,b)$, кроме, быть может, точки $x_0\in (a,b)$, определена функция $f$ (см. рис. 5.2.2). Число $A$ называется пределом функции $f$ при стремлении $x$ к $x_0$, если для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta=\delta(\varepsilon )>0$ такое, что для всех $x\in(a,b)$, удовлетворяющих условию $0<\vert x-x_0\vert<\delta$, выполняется неравенство $\vert f(x)-A\vert<\varepsilon$. Или, на формальном языке,

$$\forall\ \varepsilon > 0\ \exists\ \delta(\varepsilon ) > 0\... ..._0\vert<\delta:\ \vert f(x)-A\vert<\varepsilon . \eqno(5.2.1)$$

Рис. 5.2.2

Теорема 5.2.1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны

$$A=\lim_{x\to x_0}{f(x)}\quad (\textit{Гейне})\quad \Longleftrightarrow\quad A=\lim_{x\to x_0}{f(x)}\quad (\textit{Коши}).$$

Доказательство.
Необходимость. Докажем от противного. Пусть $A=\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}$ по Гейне, но не по Коши, т. е.

$$\exists\ \varepsilon > 0\quad \forall\ \delta > 0\quad \exists\ x_\delta \in (a,b), \ 0 < \vert x_\delta-x_0\vert < \delta:$$

                         $$\vert f(x_\delta)-A\vert\ge\varepsilon .
\eqno(5.2.2)$$

Пусть $\delta=\displaystyle{\frac{1}{n}}$. Тогда по (5.2.2) найдутся $x_n\in(a,b),$ $0<\vert x_n-x_0\vert<\displaystyle{\frac{1}{n}}$ и $\vert f(x_n)-A\vert\ge\varepsilon$. Отсюда $x_n\ne x_0,\ n=1,2,\ldots$, и по свойству (3.2.5) $x_n\to x_0$. Поэтому, по определению Гейне, $f(x_n)\to A$, но по построению последовательность $\left\{f(x_n)\right\}$ лежит вне окрестности $O_\varepsilon (A)$, что противоречит тому, что $f(x_n)\to A$.

Достаточность. Пусть

$$A=\lim_{x\to x_0}{f(x)}\quad \mbox{(по Коши)}$$   (по Коши).

Согласно определению Гейне, возьмем любую последовательность $\{x_n\}\subset(a,b),\ x_n\to x_0,\ x_n\ne x_0,\ n\in {\mathbb{N}}$. Для доказательства того, что $f(x_n)\to A$, возьмем любое $\varepsilon >0$. Тогда из определения предела по Коши найдется соответствующее $\delta>0$. Для $\delta>0$, в силу сходимости $x_n\to x_0$, найдется номер $N\in{\mathbb{N}}$ такой, что для всех $n>N:\ \vert x_n-x_0\vert<\delta$, но тогда по определению Коши $\vert f(x_n)-A\vert<\varepsilon$, что доказывает, что $f(x_n)\to A$, т. е.

$$A=\lim_{x\to x_0}{f(x)}\quad \mbox{(по Гейне)}$$   (по Гейне).

Пример 5.2.3. Докажем, что по определению Коши

$$A=\lim_{x\to 2}{x^2}=4.$$

Возьмем произвольное $\varepsilon >0$, рассмотрим левую часть основного неравенства в определении Коши (5.2.1)

$$\begin{eqnarray*} \vert f(x)-A\vert & = & \vert x^2-4\vert=\vert x-2\vert\vert x... ...$,\\ тогда $1<x<3$}\right] \le\vert x-2\vert(3+2)<\varepsilon , \end{eqnarray*}$$

поэтому $\vert x-2\vert< \displaystyle{\frac{\varepsilon }{5}}.$ Искомое $\delta(\varepsilon )=\min\left(1,\displaystyle{\frac{\varepsilon }{5}}\right)$. Здесь $\delta(\varepsilon)\le 1$ и $\delta(\varepsilon)\le\displaystyle{\frac{\varepsilon }{5}}.$ Действительно, пусть для всех $x$ выполняется $0<\vert x-2\vert<\delta(\varepsilon )$, тогда $\vert x-2\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{5}}$, поэтому

$$\vert x^2-4\vert\le\vert x-2\vert(3+2)<5\cdot \delta(\vareps... ...)\le\displaystyle{\frac{\varepsilon }{5}}\cdot 5=\varepsilon .$$

Пример 5.2.4. Докажем, что по определению Коши

$$A=\lim_{x\to 2}{\displaystyle{\frac{x+1}{x-1}}}=3.$$

Возьмем произвольное $\varepsilon >0$, рассмотрим

$$\begin{eqnarray*} \left\vert\displaystyle{\frac{x+1}{x-1}}-3\right\vert &=& \dis... ...style{\frac{2\vert x-2\vert}{0,5}}=4\vert x-2\vert<\varepsilon . \end{eqnarray*}$$

Искомое $\delta(\varepsilon )=\min\left\{\displaystyle{\frac{1}{2}}, \displaystyle{\frac{\varepsilon }{4}}\right\}$.

5.3. Критерий Коши

Говорят, что функция $f$ удовлетворяет условию Коши в точке $x_0\in (a,b)$, если она определена в $(a,b)$, быть может, кроме самой точки $x_0$, и выполнено

$$\forall\ \varepsilon >0\quad \exists\ \delta(\varepsilon )>0... ...'}-x_0\vert<\delta\\ 0<\vert x^{''}-x_0\vert<\delta$} \right]:$$

                           $$\left\vert f(x^{'})-f(x^{''})\right\vert<\varepsilon .
\eqno(5.3.1)$$

Теорема 5.3.1. Для того чтобы существовал конечный предел $A=\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)},$ необходимо и достаточно, чтобы в точке $x_0$ выполнялось условие Коши для функции $f.$

Доказательство.
Необходимость. легко следует из определения предела по Коши (5.2.1). Действительно, возьмем любое $\varepsilon >0$, тогда по (5.2.1) для $${\frac{\varepsilon }{2}}$$ найдется $\delta(\varepsilon )>0$. Возьмем любые $x^{'}, x^{''}\in(a,b),\ 0<\vert x^{'}-x_0\vert<\delta(\varepsilon ),\ 0<\vert x^{''}-x_0\vert<\delta(\varepsilon )$, тогда

$$\begin{eqnarray*} \left\vert f(x^{'})-f(x^{''})\right\vert&=&\left\vert\left(f(x... ...psilon }{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}=\varepsilon . \end{eqnarray*}$$

Достаточность. Пусть выполняется условие (5.3.1). Докажем, что существует

$$A=\lim_{x\to x_0}{f(x)}\quad \mbox{ (по Гейне).}$$    (по Гейне).

Пусть дана любая последовательность $\left\{x_n\right\}\subset(a,b),\ x_n\to x_0,$ $x_n\ne x_0,\ n=1,2,\ldots$ Возьмем любое $\varepsilon >0$, по нему найдем $\delta(\varepsilon )>0$ из (5.3.1), тогда существует номер $N$ такой, что для всех $n,m>N,\ 0<\vert x_n-x_0\vert<\delta(\varepsilon ),\ 0<\vert x_m-x_0\vert<\delta(\varepsilon )$, а следовательно, снова по (5.3.1), выполняется неравенство $\left\vert f(x_n)-f(x_m)\right\vert<\varepsilon$. Отсюда $\left\{f(x_n)\right\}$ фундаментальна (см. (4.4.1)), значит, последовательность $\left\{f(x_n)\right\}$ сходится к некоторому числу $A\in{\mathbb{R}}$. Остается доказать, что и для другой последовательности $x_n^{'}\to x_0:\ f(x_n^{'})\to A$. Действительно, по изложенному выше существует $B\in{\mathbb{R}}:\ f(x_n^{'})\to B$ при $n\to\infty$. Рассмотрев третью последовательность

$$x_n^{''}=\cases{ x_n, &если $n$ нечетное,\cr x_n^{'}, &если $n$ четное,\cr }$$

будем иметь $x_n^{''}\to x_0$. Следовательно,

$$\lim_{n\to\infty}{f(x_n^{''})}=\lim_{k\to\infty}{f(x_{2k+1}^{''})}=A= \lim_{k\to\infty}{f(x_{2k}^{''})}=B.$$

Пример 5.3.1. Докажем, что не существует

$$\lim_{x\to0}{\sin{\displaystyle{\frac{1}{x}}}}.$$

Для доказательства достаточно проверить справедливость отрицания условия Коши для функции $f(x)=\sin{\displaystyle{\frac{1}{x}}}$ в точке $x_0=0$:

$$\exists\ \varepsilon >0\quad \forall\ \delta>0\quad \exists... ...^{'}-x_0\vert<\delta,\ 0<\vert x_\delta^{''}-x_0\vert<\delta:$$

$$\left\vert f(x_\delta^{'})-f(x_\delta^{''})\right\vert\ge\varepsilon . \eqno(5.3.2)$$

Пусть $\varepsilon =\displaystyle{\frac{1}{2}},\ \delta>0$ -- любое. Так как

$$\displaystyle{\frac{1}{n\pi}}\to0, \quad \displaystyle{\frac{2}{\pi+4n\pi}}\to0,$$

то для $\delta>0$ существует $n\in{\mathbb{N}}:$

$$x_\delta^{'}=\displaystyle{\frac{1}{n\pi}}<\delta, \quad x_\delta^{''}=\displaystyle{\frac{2}{\pi+4n\pi}}<\delta.$$

Тогда

$$\left\vert f(x_\delta^{'})-f(x_\delta^{''})\right\vert= \lef... ...\vert=\vert 1-0\vert> \displaystyle{\frac{1}{2}}=\varepsilon .$$

5.4. Односторонние пределы

Функции могут быть заданы на интервалах, примыкающих к точке $x_0$, разными формулами либо не определены на одном из интервалов. Для исследования поведения таких функций удобным является понятие левосторонних и правосторонних пределов.

Пусть функция $f$ определена на интервале $(a,x_0)$. Число $A$ называется пределом функции $f$ слева в точке $x_0$,

$$A=\lim_{x\to x_0-0}{f(x)},$$

если

$$\forall\ \varepsilon > 0\quad \exists\ \delta > 0 \quad \forall\ x \in (a,x_0), \ x_0-\delta < x < x_0:$$

$$\left\vert f(x)-A\right\vert < \varepsilon . \eqno(5.4.1)$$

Предел функции $f$ справа в точке $x_0$ определяется аналогично.

Пример 5.4.1. Пусть

$$f(x)=\mbox{sgn}\,x =\cases{ 1, &$x>0$,\cr 0, &$x=0$,\cr -1,&$x<0$,\cr }$$

$$\lim_{x\to 0-0}{f(x)}=\lim_{x\to-0}(-1)=-1,$$

$$\lim_{x\to 0+0}{f(x)}=\lim_{x\to+0}(+1)=+1.$$

Ясно, что функция $f$ имеет предел в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева и справа для $f$ и они равны.

Если $x_0=+\infty,$ то $A=\lim\limits_{x\to+\infty}{f(x)}$ определяется по Коши следующим образом:

$$\forall\ \varepsilon >0\quad \exists\ \Delta>0\quad \forall\... ...ta:\ \left\vert f(x)-a\right\vert<\varepsilon , \eqno(5.4.2)$$

по Гейне:

$$\forall\ x_n\to+\infty:f(x_n)\to A\quad \mbox{при}\quad n\to\infty. \eqno(5.4.3)$$

Пример 5.4.2. Докажем, что

$$\lim_{x\to+\infty}{\displaystyle{\frac{1}{x}}}=0.$$

Действительно, для любой последовательности $\{x_n\}$, $x_n\to+\infty$, последовательность $y_n=\displaystyle{\frac{1}{x_n}}\to+0$.

5.5. Свойства предела функции

1. Арифметические свойства предела функции. Пусть функции $f$ и $g$ определены на интервале $(a,b)$, кроме, быть может, точки $x_0$. Если существуют пределы

$$\lim_{x\to x_0}{f(x)}\quad\mbox{ и }\quad\lim_{x\to x_0}{g(x)},$$

то существуют пределы в левых частях следующих равенств и имеют место эти равенства:

$$\begin{eqnarray*} \mbox{а)} && \lim_{x\to x_0}{\left[f(x)+g(x)\right]}= \lim_{x\... ...its_{x\to x_0}{g(x)}}}, \mbox{ если }\lim_{x\to x_0}{g(x)}\ne0. \end{eqnarray*}$$

Эти свойства вытекают из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств сходящихся последовательностей.

2. Если

$$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A,$$

то существует проколотая окрестность точки $x_0$

$$\check O(x_0)=(x_0-\delta, x_0)\cup(x_0,x_0+\delta),$$

где функция $f(x)$ ограничена.

Действительно, если взять $\varepsilon =1>0$, то из существования конечного предела следует, что существует $\delta>0$, что для всех $x,$ $0<\vert x-x_0\vert<\delta$, выполняется $\vert f(x)-A\vert<1$, отсюда $\vert f(x)\vert-\vert A\vert\le\vert f(x)-A\vert<1$, т. е.

$$\exists\ M=1+\vert A\vert>0\quad \exists\ \check O_\delta(x... ...\forall\ x\in\check O_\delta(x_0):\quad \vert f(x)\vert\le M.$$

3. Если

$$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A,\quad A>0,$$

то существует проколотая окрестность $\check O(x_0)$ точки $x_0$ такая, что для всех $x\in\check O(x_0)$ выполняются неравенства $f(x)> \displaystyle{\frac{A}{2}}>0$. Действительно, возьмем $\varepsilon >0$, тогда из существования конечного предела следует, что существует окрестность $\check O_\delta(x_0)$ такая, что для всех $x\in\check O_\delta(x_0)$

$$\displaystyle{\frac{A}{2}}= A-\displaystyle{\frac{A}{2}}<f(x)<A+\displaystyle{\frac{A}{2}},$$

т. е. $f(x)>\displaystyle{\frac{A}{2}}>0.$

4. Свойства, связанные с неравенствами. Если

$$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=A,\ \lim_{x\to x_0}{g(x)}=B$$

и для всех $x\in\check O(x_0):\ f(x)\le g(x)$, то $A\le B$.

Если

$$\lim_{x\to x_0}{f(x)}=\lim_{x\to x_0}{g(x)}=A$$

и для всех $x\in\check O(x_0):\ f(x)\le\phi(x)\le g(x),$ то существует $\lim\limits_{x\to x_0}{\phi(x)}=A.$

Доказательства этих свойств следуют из соответствующих свойств для сходящихся последовательностей и определения предела функции по Гейне.

5.6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция $\alpha=\alpha(x)$ называется бесконечно малой функцией при $x\to x_0$, если $\alpha(x)\to 0$ при $x\to x_0$.

Пример 5.6.1. $\alpha(x)=x,\ \beta(x)=x^2$ -- бесконечно малые функции при $x\to x_0$.

Теорема 5.6.1.

а) $\alpha(x)+\beta(x)$ -- бесконечно малая функция при $x\to x_0$, если $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ -- бесконечно малые функции при $x\to x_0$;

б) $\alpha(x)\theta(x)$ -- бесконечно малая функция при $x\to x_0$, если $\alpha(x)$ -- бесконечно малая функция при $x\to x_0$, а функция $\theta(x)$ ограничена в $\check O(x_0)$;

в) $f(x)\to A$ при $x\to x_0\ \Longleftrightarrow\ f(x)=A+\alpha(x)$, где $\alpha(x)$ -- бесконечно малая функция при $x\to x_0$.

Доказательство непосредственно следует из определения Гейне предела функции и соответствующих свойств бесконечно малых последовательностей.

Пример 5.6.2.

1) $\alpha_k(x)=x^k,\ k>0,$ -- бесконечно малые функции при $x\to0$;

2) $\alpha(x)=\displaystyle{\frac{3x^2+1}{2+x}}-\displaystyle{\frac{1}{2}}$ -- бесконечно малая функция при $x\to0$.

Действительно, при $\vert x\vert\le 1$ рассмотрим

$$\begin{eqnarray*} \left\vert\displaystyle{\frac{3x^2+1}{2+x}}-\displaystyle{\fra... ...ert\cdot\displaystyle{\frac{7}{2-1}}=7\vert x\vert<\varepsilon . \end{eqnarray*}$$

Тогда, $\delta=\min\left(1,\displaystyle{\frac{\varepsilon }{7}}\right)>0$.

Функция $A=A(x)$ называется бесконечно большой функцией при $x\to x_0$, если

$$\lim_{x\to x_0}{A(x)}=\infty$$

или, в развернутой форме, если для любого $E>0$ существует $\delta(E)>0$, что для всех $x,\ 0<\vert x-x_0\vert<\delta(E):\ \vert A(x)\vert>E$.

Пример 5.6.3. $A(x)=\displaystyle{\frac{1}{x-x_0}}$ -- бесконечно большая функция при $x\to x_0$.

Ясно, что если $A(x)$ -- бесконечно большая функция при $x\to x_0$, то $\alpha(x)=\displaystyle{\frac{1}{A(x)}}$ есть бесконечно малая функция при $x\to x_0$ и наоборот.