Свойства отношения порядка:
$_1.$ Имеет место одно и только одно соотношение для двух чисел:

\begin{displaymath} \textit{\rm либо}\ a=b;\quad \textit{\rm либо}\ a>b,\quad \textit{\rm либо}\ a<b. \end{displaymath}

$_2.$ Транзитивность отношения "больше''

\begin{displaymath} (a>b)\wedge(b>c)\Rightarrow(a>c). \end{displaymath}

$_3.$ Свойство плотности множества ${\mathbb{Q}}$

\begin{displaymath} (a>b)\Rightarrow(\exists\ c\in {\mathbb{Q}}:\ a>c>b). \end{displaymath}


Свойства операции сложения:

$_1.$ $a+b=b+a;$
$_2.$ $(a+b)+c=a+(b+c);$
$_3.$ $0+a=a+0;$
$_4.$ $a+(-a)=0;$
$_5.$ $(a>b)\Rightarrow(\forall\ c\in {\mathbb{Q}}:a+c>b+c).$
Свойства операции умножения:

$_1.$ $ab=ba$;
$_2.$ $(ab)c=a(bc)$;
$_3.$ $a\times 1=1\times a=a$;
$_4.$ $a\times(1/a)=1\ (a\not=0)$;
$_5.$ $(a+b)c=ac+bc$;
$_6.$ $(a>b)\wedge(c>0)\Rightarrow(ac>bc)$.

Свойство Архимеда:

\begin{displaymath} \forall\ {a,b}\in {\mathbb{Q}}\ (a>0)\ \exists\ n\in {\mathbb{N}}:\ an>b. \end{displaymath}


Пусть даны две функции $f:\ X\to Y$ и $g:\ Y\to Z$. Функция $h:\ X\to Z$, определяемая равенством $h(x)=g\left(f(x)\right)$, называется сложной функцией (или суперпозицией функций) от $f$ и $g$.

Последовательность целых чисел $\{k_n\}$ называется стабилизирующейся к целому числу $m$ при $n$, стремящемся к $\infty$, если найдется номер $N$ такой, что для всех $n\ge N:\ k_n=m$.

Верхняя сумма Дарбу:

\begin{displaymath} S(T)=\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k. \end{displaymath}

Нижняя сумма Дарбу:

\begin{displaymath} s(T)=\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k. \end{displaymath}


Последовательность $\{a_n\}$ называется сходящейся, если существует число $a$, к которому она сходится, т.е.

\begin{displaymath} \exists\ a\in{\mathbb{R}} \quad \forall\ \varepsilon >0 \q... ... \forall\ n>N(\varepsilon ):\ \vert a_n-a\vert<\varepsilon . \end{displaymath}