Глава 2. Действительные числа

2.1. Рациональные числа и их свойства

2.2. Числовая ось

2.3. Бесконечные десятичные дроби. Действительные числа

2.4. Стабилизирующиеся последовательности

2.5. Арифметические операции в R

2.6. Модуль действительного числа. Основные неравенства, окрестности

Глава 2

Действительные числа

Элементарное представление о действительных числах дается в курсе средней школы. Однако этого представления недостаточно для строгого и последовательного построения понятия предела и бесконечно малой величины.

2.1. Рациональные числа и их свойств

Основными, неопределяемыми понятиями в теории действительных чисел являются натуральные числа

$$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}$$

и действия сложения и умножения над ними.

Из потребностей счета множество натуральных чисел было расширено с сохранением арифметических операций до множества целых чисел

$${\mathbb{Z}}=\{\ldots,-2,-1,0,+1,+2,\ldots\}.$$

Если считать, что $+n=n$, то ${\mathbb{ N}}\subset {\mathbb{Z}}$. В множестве ${\mathbb{ Z}}$ всегда выполнимы операции "$+$", "$-$" и "$\cdot\,$", а операция "$:$" выполнима не всегда.

Множество целых чисел может быть расширено с сохранением операций до множества рациональных чисел

$$\mathbb{Q}=\left\{ {\displaystyle\frac{n}{m}}:\ n\in \mathbb{Z},\ m\in \mathbb{N}\right\}.$$

Отношения порядка, равенства и арифметические операции в ${\mathbb{Q}}$ вводятся известным образом. Напомним основные определения, касающиеся рациональных чисел:

$${\displaystyle\frac{n}{m}}={\displaystyle\frac{p}{q}},\quad \textit{\rm если} \quad nq=mp;$$

$${\displaystyle\frac{n}{m}<\frac{p}{q}},\quad \textit{\rm если}\quad nq<mp;$$

$${\displaystyle\frac{n}{m}+\frac{p}{q}=\frac{nq+mp}{mq}};$$

$${\displaystyle\frac{n}{m}\cdot\frac{p}{q}=\frac{np}{mq}}.$$

Множество всех рациональных чисел относительно так введенных операций сложения и умножения и отношения порядка обладает следующими фундаментальными свойствами.

Пусть $a,b,c$ -- любые числа из ${\mathbb{Q}}$.

I.Свойства отношения порядка:

$_1.$ Имеет место одно и только одно соотношение для двух чисел:

$$\textit{\rm либо}\ a=b;\quad \textit{\rm либо}\ a>b,\quad \textit{\rm либо}\ a<b.$$

$_2.$ Транзитивность отношения "больше''

$$(a>b)\wedge(b>c)\Rightarrow(a>c).$$

$_3.$ Свойство плотности множества ${\mathbb{Q}}$

$$(a>b)\Rightarrow(\exists\ c\in {\mathbb{Q}}:\ a>c>b).$$

II.Свойства операции сложения:

$_1.$ $a+b=b+a;$
$_2.$ $(a+b)+c=a+(b+c);$
$_3.$ $0+a=a+0;$
$_4.$ $a+(-a)=0;$
$_5.$ $(a>b)\Rightarrow(\forall\ c\in {\mathbb{Q}}:a+c>b+c).$

III.Свойства операции умножения:

$_1.$ $ab=ba$;
$_2.$ $(ab)c=a(bc)$;
$_3.$ $a\times 1=1\times a=a$;
$_4.$ $a\times(1/a)=1\ (a\not=0)$;
$_5.$ $(a+b)c=ac+bc$;
$_6.$ $(a>b)\wedge(c>0)\Rightarrow(ac>bc)$.

IV. Свойство Архимеда:

$$\forall\ {a,b}\in {\mathbb{Q}}\ (a>0)\ \exists\ n\in {\mathbb{N}}:\ an>b.$$

Эти свойства можно доказать, исходя из определения рациональных чисел и операций над ними.

2.2. Числовая ось

Числовой осью называют прямую, на которой выбраны точка $O,$ масштабный отрезок $OE$ и положительное направление.

Каждому рациональному числу $a$ можно поставить в соответствие единственную точку $M$ на числовой оси (см. рис. 2.2.1). Для этого нужно разделить масштабный отрезок $OE$ на $m$ равных частей и $m$-ю долю отложить $n$ раз от точки $O$ в нужном направлении.

Рис. 2.2.1

При попытке решить обратную задачу -- поставить в соответствие точке $M$ числовой оси число $a$ из ${\mathbb{Q}}$, можно столкнуться с ситуацией, когда масштабный отрезок несоизмерим с отрезком $OM$, т.е. как бы ни дробили отрезок $OE$ на равные части, из них никогда не составить отрезок $OM$. Таким образом, длина отрезка $OM$ не может быть выражена рациональным числом $n/m$.

Пример 2.2.1. Сторона и диагональ квадрата несоизмеримы. Действительно, примем длину стороны квадрата за единицу и допустим, что его диагональ соизмерима со стороной. Тогда длина диагонали выражается некоторой дробью $n/m$. Можно считать, что эта дробь несократима. По теореме Пифагора

$$n^2/m^2=1^2+1^2=2.$$

Отсюда $m^2 = 2n^2$. Левая часть равенства, $m^2$, делится на 2 без остатка, следовательно, $m$ делится на 2 без остатка, поэтому $m^2$ делится на 4. Но тогда и $n^2$ делится на 2, а отсюда $n$ делится на 2. Мы получили противоречие с несократимостью дроби $n/m$.

Следовательно, существуют несоизмеримые отрезки, и поэтому не всем точкам числовой оси можно поставить в соответствие рациональные числа.

Этот геометрический факт существования несоизмеримых отрезков может быть выражен в виде алгебраической задачи: уравнение $x^2=2$ не имеет решения в области рациональных чисел.

Необходимо расширение множества рациональных чисел с сохранением операций и всех свойств I-IV, перечисленных выше, так, чтобы существовало взаимно-однозначное соответствие между точками числовой оси и этими новыми числами.

2.3. Бесконечные десятичные дроби.
Действительные числа

Из изложенного выше необходимы новые объекты, среди которых найдутся такие, которые соответствуют рациональным числам ${\mathbb{Q}}$, и арифметические операции в этих новых числах согласуются с соответствующими операциями в ${\mathbb{Q}}$. Такими объектами являются бесконечные десятичные дроби

$$a= \alpha_0,\alpha_1\alpha_2\ldots$$

Здесь $\alpha_0\in {\mathbb{Z}}$, $\alpha_i$ -- десятичные цифры.

Множество всех таких бесконечных десятичных дробей обозначим ${\Bbb R}$ (для удобства исключим из рассмотрения бесконечные десятичные дроби с 9 в периоде).

Важно отметить, что каждую рациональную дробь $n/m$, используя алгоритм деления, можно записать в виде бесконечной периодической дроби. Действительно, остаток от деления $n$ на $m$ может быть одним из чисел $\{0,1,2,\ldots,m-1\}$, и при неограниченном процессе деления остатков на $m$ неминуемо какой-то из остатков повторится, а значит, повторится бесконечное число раз.

Задача 2.3.1. Проверьте делением столбиком, что

$${\displaystyle\frac{17}{70}}= 0,2(428571).$$

Таким образом, все рациональные числа содержатся среди бесконечных десятичных дробей как периодические бесконечные десятичные дроби.

Действительными числами называют бесконечные десятичные дроби. В случае периодичности дроби такое действительное число называют рациональным, в противном случае -- иррациональным.

Пример 2.3.1. Число $a = 0.1010010001 \ldots\,$ как непериодическая бесконечная десятичная дробь есть число иррациональное.

Сравнительно просто определять в ${\Bbb R}$ отношение равенства и порядка ("больше"). Рассмотрим два действительных числа

$$\begin{eqnarray*} a &=& \alpha_0,\alpha_1\alpha_2\ldots\,, \\ b &=& \beta_0,\beta_1\beta_2\ldots \end{eqnarray*}$$

Будем считать их равными, если $\forall\ k=0,1,2,\ldots:\ \alpha_k=\beta_k$.

Пусть $a,b$ одного знака "$+$''. Число $a$ больше числа $b$ $(a>b)$, если либо $\alpha_0 > \beta_0$, либо существует номер $k=1,2,\ldots$ такой, что $\alpha_i=\beta_i$ для $i=0,1,2,\ldots,k-1$ и $\alpha_{k}>\beta_{k}$.

Пример 2.3.2. $a=3,\!2001(0)>3,\!1999(0)=b$, здесь $k=1$.

2.4. Стабилизирующиеся последовательности

Если каждому натуральному $n\in {\mathbb{N}}$ поставлено в соответствие число $x_n\in {\Bbb R}$, совокупность

$$x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots \eqno(2.4.1)$$

называется числовой последовательностью и обозначается $\{x_n\}$, при этом число $x_n$ называется $n$-м элементом последовательности.

Пример 2.4.1. Приведем несколько примеров числовых последовательностей:

        
             a)          $1, 2, 3,\ldots, n,\ldots$ $x_n= n$; 


		 б) 		  $1, 3, 3, 3,\ldots$ $x_1 = 1$ и $x_n=3$, если $n>1$; 


		 в) 		  $1, 1/2, 1/3, 1/4,\ldots$ $x_n= 1/n$; 


		 г) 		  $1, -1, 1, -1,\ldots$ $x_n=(-1)^{n+1}$.

Последовательность $\{x_n\}$ называется возрастающей (будем обозначать $x_n\nearrow$), если $\forall\ n\in {\mathbb{N}}:\ x_n\le x_{n+1}$; ограниченной сверху, если $\exists\ M\in{\Bbb R}\ \forall\ n \in{\mathbb{N}}:\ x_n\leq M$.

Аналогично вводятся понятия убывающей и ограниченной снизу последовательностей. Последовательности, ограниченные снизу и сверху, называются ограниченными.

Последовательности а) и б) из примера 2.4.1 монотонно возрастают, последовательность в) монотонно убывает, последовательность г) не монотонна. Последовательности а), б), в), г) ограничены снизу, а последовательности б), в), г) ограничены сверху. Последовательность а) не ограничена сверху, так как для нее выполняется условие $\forall\ M\in{\Bbb R}\ \exists\ n_M\in{\mathbb{N}}:\ x_{n_M} > M$ (отрицание ограниченности $\{x_n\}$ сверху).

Действительно, для любого числа $M$ за номер $n_M$ можно взять непосредственно следующее за $\left\vert M\right\vert$ натуральное число, тогда $x_{n_M}=n_M>\vert M\vert\ge M$.

Последовательность целых чисел $\{k_n\}$ называется стабилизирующейся к целому числу $m$ при $n$, стремящемся к $\infty$, если найдется номер $N$ такой, что для всех $n\ge N:\ k_n=m$.

Последовательность б) в примере 2.4.1 стабилизируется к целому числу 3. Из свойств целых чисел ясно, что если последовательность $k_n$ монотонно возрастает и ограничена сверху числом $M$, то $k_n$ стабилизируется к некоторому числу, не превосходящему $M$.

Рассмотрим теперь последовательность неотрицательных бесконечных десятичных дробей $\{a_n\}$:

$$a_1=\alpha_{10},\alpha_{11}\ldots\alpha_{1k}\ldots\,,$$

$$a_2=\alpha_{20},\alpha_{21}\ldots\alpha_{2k}\ldots\,,$$

                        $$.\hskip 5mm.\hskip 5mm.\hskip 5mm.\hskip 5mm.\hskip 5mm.\hskip 5mm.
\eqno(2.4.2)$$   

$$a_n=\alpha_{n0},\alpha_{n1}\ldots\alpha_{nk}\ldots\,,$$

                    $$$$
  

Построена бесконечная таблица. Строки и столбцы -- это последовательности натуральных чисел, и $\alpha_{nk}$ при $k\not=0$ -- это десятичные цифры $0, 1, 2,\ldots,9$.

Говорят, что последовательность бесконечных десятичных дробей $\{a_n\}$ стабилизируется при $n\to\infty$ к бесконечной десятичной дроби $a=\gamma_0,\gamma_1\ldots\gamma_k\ldots$ (обозначается $a_n\rightsquigarrow a$), если для любого номера $k=0,1,2, \ldots$ столбец $\{\alpha_{nk}\}$ таблицы (2.4.2) с номером $k$ стабилизируется к числу $\gamma_k$ при $n\to\infty$. Это фактически означает, что последовательность $\{a_n\}$ поразрядно сходится к числу $a$.

Пример 2.4.2. Пусть $a$ -- неотрицательное действительное число, $a=\alpha_0,\alpha_1 \ldots \alpha_k \ldots$ Тогда рациональную десятичную дробь $a^{(n)}=\alpha_0,\alpha_1 \ldots \alpha_n(0)$ называют $n$-м приближением числа $a$ по недостатку. Очевидно, что $a^{(n)}\rightsquigarrow a$ при $n\to\infty$ и $a^{(n)}\nearrow$.

Сформулируем основное свойство действительных чисел, которое, вообще говоря, не выполняется в ${\mathbb{Q}}$.

Теорема 2.4.1 (Свойство V). Если последовательность неотрицательных бесконечных десятичных дробей $\{a_n\}$ возрастает и ограничена сверху числом $M$, то существует число $a$ такое, что

$1)\ a_n\rightsquigarrow a$,

$2)\ \forall\ n:\ a_n\leq a\leq M$.

Доказательство. 1) Рассмотрим таблицу (2.4.2). В ней нулевой столбец целых чисел является возрастающей последовательностью, иначе сама последовательность $\{a_n\}$ не будет возрастающей, и ограничен сверху числом $M$. Следовательно, существует целое $\gamma_0\geq0$ такое, что $\{a_{n0}\}$ стабилизируется к $\gamma_0$, т.е. $a_{n0}=\gamma_0$, начиная с некоторого номера $N_0$. Столбец $\{a_{n1}\}$, начиная с номера $N_0$, является возрастающей последовательностью и, будучи ограниченным сверху числом $9$, стабилизируется к некоторому числу $\gamma_1$, начиная с номера $N_1\geq N_0$.
И так далее -- все столбцы таблицы (2.4.2) стабилизируются. Из определения получаем, что $a_n$ стабилизируется к некоторому числу $a=\gamma_0,\gamma_1\ldots\gamma_k\ldots$.

Рис. 2.4.1

2) По построению числа $a$, $a_n \leq a$ для всех $n$. Докажем, что $a\leq M$. Пусть, напротив, $a>M$, тогда по определению "больше'' найдется номер $k=0,1,\ldots\,$ такой, что $k$-е приближение по недостатку числа $a$

$$a^{(k)}=\gamma_0,\gamma_1 \ldots \gamma_k(0)>M.$$

Если теперь взять номер $n=N_k$ (построенный в пункте 1), получим

$$a_n=\alpha_{n0},\alpha_{n1} \ldots \alpha_{nk}\alpha_{n_{k+1... ...\gamma_1 \ldots \gamma_k\alpha_{n_{k+1}} \ldots\geq a^{(k)}>M,$$

а это противоречит тому, что $a_n\leq M$ при всех $n$.

2.5. Арифметические операции в ${\Bbb R}$

Рассмотрим положительные действительные числа

$$\begin{eqnarray*} a &=& \alpha_0,\alpha_1\ldots\alpha_k\ldots\,, \\ b &=& \beta_0,\beta_1\ldots\beta_k\ldots \end{eqnarray*}$$

и $\left\{a^{(n)}\right\}$, $\left\{b^{(n)}\right\}$ -- последовательности их рациональных десятичных приближений по недостатку. Ясно, что $a^{(n)}\!\!\nearrow a,\ b^{(n)}\!\!\nearrow b$ и, значит, $a^{(n)}+ b^{(n)}\nearrow$, что следует из свойства рациональных чисел. Кроме того, $a^{(n)}+b^{(n)}\leq\alpha_0+\beta_0+2$ для любого $n$. Следовательно, по теореме 2.4.1 последовательность $\left\{a^{(n)}+ b^{(n)}\right\}$ стабилизируется к некоторому числу $c$, которое по определению полагается суммой чисел $a$ и $b$ и обозначается привычным образом: $c=a+b$.

Остальные арифметические операции определяются в ${\Bbb R}$ аналогично.

Можно проверить, что выполняются свойства I(1-3) , II(1-5), III(1-6), IV и, кроме того, выполняется еще одно свойство V (теорема 2.4.1), которого не было в ${\mathbb{Q}}$.

Можно доказать, что арифметические операции с рациональными числами, как дробями и как периодическими десятичными дробями, описанными выше, приводят к одному результату. Таким образом, множество рациональных чисел ${\mathbb{Q}}$ расширено до множества ${\Bbb R}$ действительных чисел с сохранением арифметических операций.

2.6. Модуль действительного числа. Основные неравенства, окрестности

Напомним определение модуля числа $a$:

$$\vert a\vert=\cases{ a, &$a$ положительно;\cr 0, &$a=0$;\cr -a, &$a$ отрицательно.\cr }$$

Геометрически модуль числа $a$ означает расстояние от числа $a$ до нуля. Соответственно, $\vert a-b\vert$ означает расстояние от точки $a$ до точки $b$ на числовой прямой (см. рис. 2.6.1).

Свойства модуля:

1) $\vert a\ b\vert=\vert a\vert\ \vert b\vert, \ \left\vert\displaystyle{\frac{a}{b}}\right\vert=\displaystyle{\frac{\vert a\vert}{\vert b\vert}};$

2) $\vert a+b\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert;$

3) $\vert a-b\vert\geq\Bigl\vert\vert a\vert-\vert b\vert\Bigr\vert$.

Рис. 2.6.1

Доказательство. Докажем свойство 2. Возможны несколько различных случаев расположения чисел $a$ и $b$ относительно нуля:

1) $a\geq0, b\geq0$, тогда $\vert a+b\vert=a+b=\vert a\vert+\vert b\vert$;

2) $a<0, b<0$, тогда $\vert a+b\vert=-a-b=\vert a\vert+\vert b\vert$;

3) $a\leq0\leq b$ и пусть $\vert a\vert\leq\vert b\vert$. Тогда $a+b=\vert b\vert-\vert a\vert\geq0$ и $\vert a+b\vert=a+b=\vert b\vert-\vert a\vert\leq\vert a\vert+\vert b\vert$.

Остальные случаи разбираются аналогично.

Наконец, отметим, что неравенство $\vert a\vert<\varepsilon$ равносильно двойному неравенству $-\varepsilon<a<+\varepsilon$, и неравенство $\vert a-b\vert<\varepsilon$ можно записать в эквивалентном виде $-\varepsilon<a-b<+\varepsilon$, или $b-\varepsilon<a<b+\varepsilon$.
Окрестностью точки $a$ радиуса $\delta$ называется множество всех точек (см. рис. 2.6.2), находящихся от точки $a$ на расстоянии строго меньше $\delta$, и обозначается это множество через $O_{\delta}(a)$. Таким образом, по определению

$$O_{\delta}(a)=\{x:\vert x-a\vert<\delta\}=(a-\delta,a+\delta).$$

Рис. 2.6.2