Последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной, если $\exists\ M>0\ \forall\ n:\ \vert a_n\vert\le M$. Это означает, что $\{a_n\}\subset [-M,M]$ или что множество $\{a_n\}$ можно накрыть отрезком $[-M,M]$.
 Последовательности, ограниченные снизу и сверху, называются ограниченными.

Последовательность $\{x_n\}$ называется ограниченной сверху, если $\exists\ M\in{\Bbb R}\ \forall\ n \in{\mathbb{N}}:\ x_n\leq M$.

Множество $E\subset{\Bbb R}$ называется ограниченным сверху, если существует число $M\in{\Bbb R}$ такое, что для всех $x\in E:\ x\le M$. Число $M$ называется верхней границей (мажорантой) множества $E$.

Окрестностью точки $a$ радиуса $\delta$ называется множество всех точек , находящихся от точки $a$ на расстоянии строго меньше $\delta$, и обозначается это множество через $O_{\delta}(a)$. Таким образом, по определению

\begin{displaymath} O_{\delta}(a)=\{x:\vert x-a\vert<\delta\}=(a-\delta,a+\delta). \end{displaymath}


Число $I$ называется определенным интегралом, или интегралом Римана, функции $f$ на отрезке $[a,b]$, и интеграл обозначается

\begin{displaymath} I=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx. \end{displaymath}

Основные типы функций:

1) $f:\ X\to Y$ сюръективна (отображает $X$ на $Y$), если $f\left(X\right)=Y$ (или, что то же самое: $\forall\ y\in Y:\ f^{-1}(y)\ne\varnothing$);
2) $f:\ X\to Y$ инъективна, если различные элементы из $X$ имеют различные образы в $Y$ ;
3) $f:\ X\to Y$ биективна или взаимно однозначна, если функция $f$ сюръективна и инъективна .

Основная формула интегрального исчисления:

\begin{displaymath} \int\limits_a^bf(t)dt=F(x)\Bigl\vert_a^b, \end{displaymath}

где введено обозначение

\begin{displaymath} F(x)\Bigl\vert_a^b=F(b)-F(a). \end{displaymath}



Отрицанием высказывания $A$ называется такое высказывание, обозначаемое $\overline A$ (читается: "не $A$"), которое является истинным, если $A$ ложно, и ложным, если $A$ истинно. Эту ситуацию можно изобразить с помощью таблицы истинности:

$A$ $\overline A$
и л
л и