Функция $F$, определенная на конечном или бесконечном промежутке $E\in{\Bbb R}$, называется первообразной функцией, или первообразной, функции $f$ на промежутке $E$, если она дифференцируема на нем и имеет место равенство $F^{'}(x)=f(x)$ для каждого $x\in E$.

Говорят, что плоская кривая $\gamma$ задана явно, если она является графиком непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a,b]$, и записывают:

\begin{displaymath}\gamma:\ y=f(x),\ \ a\leq x\leq b.\end{displaymath}


Число $a$ называется пределом последовательности $\{a_n\}$ (по Коши)

\begin{displaymath} \lim_{n\to\infty}{a_n}=a \end{displaymath}

(или $a_n\to a$ при $n\to\infty$), если

\begin{displaymath} \forall\ \varepsilon >0 \quad \exists\ N(\varepsilon )\in{\m... ...d \forall\ n>N(\varepsilon ):\ \vert a_n-a\vert<\varepsilon . \end{displaymath}

(Читается так: "для любого эпсилон, большего нуля, существует номер эн большое, что для любого номера эн малого, большего эн большое, выполняется: $a_n$ минус $a$ по модулю меньше эпсилон").

Определение предела функции по Гейне. Пусть в каждой точке интервала $(a,b)$, кроме, быть может, точки $x_0\in (a,b)$, определена функция $f$. Число $A$ называется пределом функции $f$ при стремлении $x$ к $x_0$, если для любой последовательности $\left\{x_n\right\}$ такой, что

\begin{displaymath} \left\{x_n\right\}\subset(a,b),\ \ x_n\ne x_0,\ \ x_n\to x_0, \ n\to\infty, \end{displaymath}

последовательность $f(x_n)$ значений функции $f$ сходится к $A$ при $n\to\infty$. В этом случае пишут

\begin{ displaymath} \lim_{x\to x_0}{f(x)}=A. \end{displaymath}


Определение предела функции по Коши. Пусть в каждой точке интервала $(a,b)$, кроме, быть может, точки $x_0\in (a,b)$, определена функция $f$. Число $A$ называется пределом функции $f$ при стремлении $x$ к $x_0$, если для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta=\delta(\varepsilon )>0$ такое, что для всех $x\in(a,b)$, удовлетворяющих условию $0<\vert x-x_0\vert<\delta$, выполняется неравенство $\vert f(x)-A\vert<\varepsilon $. Или, на формальном языке,

\begin{displaymath} \forall\ \varepsilon > 0\ \exists\ \delta(\varepsilon ) > 0\... ..._0\vert<\delta:\ \vert f(x)-A\vert<\varepsilon . \eqno(5.2.1) \end{displaymath}


Пусть функция $f$ определена на интервале $(a,x_0)$. Число $A$ называется пределом функции $f$ слева в точке $x_0$,

\begin{displaymath} A=\lim_{x\to x_0-0}{f(x)}, \end{displaymath}

если

\begin{displaymath} \forall\ \varepsilon > 0\quad \exists\ \delta > 0 \quad \forall\ x \in (a,x_0), \ x_0-\delta < x < x_0: \end{displaymath}


\begin{displaymath} \left\vert f(x)-A\right\vert < \varepsilon . \eqno(5.4.1) \end{displaymath}

Предел функции $f$ справа в точке $x_0$ определяется аналогично.

Суждение, зависящее от переменной величины, которое при подстановке значений переменного становится высказыванием, называют предикатом.

Тот факт, что элемент $a$ принадлежит множеству $A$, записывают как $a\in A$. Если элемент $a$ не принадлежит множеству $A$, пишут: $a\notin A$.

\begin{displaymath} \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta f}{\Delta x}}= \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}= f^{'}(x). \end{displaymath}

Число $f^{'}(x)$, если такой предел существует, называется производной функции $y=f(x)$ в точке $x$.

Пусть функция $f$ определена и дифференцируема на интервале $(a,b)$ и $x_0\in (a,b)$. Производная функции $f^{'}$ в точке $x_0$ (если она существует) называется второй производной функции $f$ и обозначается $f^{''}(x_0)$. Аналогично определяется производная $n$-го порядка через производную $(n-1)$-го порядка.

Множество $B$ называется подмножеством множества $A$, если $\left(\forall\ x\right):\ (x\in B)\Rightarrow(x\in A)$. Это записывают как $B\subset A$ (читается: "$B$ включено в $A$'').

Если каждому натуральному $n\in {\mathbb{N}}$ поставлено в соответствие число $x_n\in {\Bbb R}$, совокупность

\begin{displaymath} x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots \eqno(2.4.1) \end{displaymath}

называется числовой последовательностью и обозначается $\{x_n\}$, при этом число $x_n$ называется $n$-м элементом последовательности.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел $\left\{x_n\right\}={x_1,x_2,\ldots}$ Последовательность $\left\{y_k\right\}:\ y_k=x_{n_k}$, где $n_1<n_2<\ldots<n_k<\ldots\,,$ называется подпоследовательностью последовательности $\left\{x_n\right\}$. Таких подпоследовательностей из заданной последовательности можно выделить бесконечно много.

Для удобства вводится понятие пустого множества, обозначаемого символом $\varnothing$, как множества, которому не принадлежат никакие элементы.