Глава 3. Предел последовательности

3.1. Сходящиеся и стабилизирующиеся последовательности

3.2. Свойства сходящихся последовательностей

3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

3.4. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями

3.5. Число e

Глава 3

Предел последовательности

3.1. Сходящиеся и стабилизирующиеся
последовательности

Число $a$ называется пределом последовательности $\{a_n\}$ (по Коши)

$$\lim_{n\to\infty}{a_n}=a$$

(или $a_n\to a$ при $n\to\infty$), см. рис. 3.1.1, если

$$\forall\ \varepsilon >0 \quad \exists\ N(\varepsilon )\in{\m... ...d \forall\ n>N(\varepsilon ):\ \vert a_n-a\vert<\varepsilon .$$

(Читается так: "для любого эпсилон, большего нуля, существует номер эн большое, что для любого номера эн малого, большего эн большое, выполняется: $a_n$ минус $a$ по модулю меньше эпсилон").

Рис. 3.1.1

Последовательность $\{a_n\}$ называется сходящейся, если существует число $a$, к которому она сходится, т.е.

$$\exists\ a\in{\mathbb{R}} \quad \forall\ \varepsilon >0 \q... ... \forall\ n>N(\varepsilon ):\ \vert a_n-a\vert<\varepsilon .$$

Пример 3.1.1. Докажем, что

$$\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}=0.$$

Проверим, что выполняется определение предела последовательности. Зададимся произвольным $\varepsilon >0$. Неравенство $${\frac{1}{n}}<\varepsilon$$ равносильно неравенству $n>\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon }}$. Следовательно, за номер $N(\varepsilon )$ можно взять $N(\varepsilon )=\left[\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon }}\right]+1$. Здесь $[x]$ (читается: "целая часть числа $x$") есть ближайшее слева от $x$ целое число (см. рис. 3.1.2).

Рис. 3.1.2

И теперь $\forall\ n>N(\varepsilon )=\left[\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon }}\right]+1$ выполняются соотношения

$$\displaystyle{\frac{1}{n}}<\frac{1}{N(\varepsilon )} =\frac{... ...t(\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon }}\right)}=\varepsilon .$$

Пример 3.1.2. Докажем, что

$$\lim_{n\to\infty}{\displaystyle{\frac{1}{10^n}}}=0.$$

Рассмотрим цепочку неравенств

$$\displaystyle{\frac{1}{10^n}}=\displaystyle{\frac{1}{(1+9)^n... ... \cdot \displaystyle{\frac{1}{n}}<\displaystyle{\frac{1}{n}}.$$

Следовательно, за номер $N(\varepsilon )$ можно взять, как и в примере 3.1.1, $N(\varepsilon )=\left[\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon }}\right]+1$.

Пример 3.1.3. Докажем, что

$$\lim_{n\to\infty}{\displaystyle{\frac{3n+5}{5n-3}}}=\frac{3}{5}.$$

Рассмотрим цепочку неравенств

$$\begin{eqnarray*} \left\vert\frac{3n+5}{5n-3}-\frac{3}{5}\right\vert &=&\frac{34... ...3$}\right] \le \\ &\le&\frac{8}{5n-n}=\frac{2}{n}<\varepsilon . \end{eqnarray*}$$

Следовательно, $N(\varepsilon )=\left[\displaystyle{\frac{2}{\varepsilon }}\right]+3$.

Теорема 3.1.1. Если $a_n\rightsquigarrow a$, то $a_n\to a$.

Доказательство. Возьмем любое $\varepsilon >0$. Как и в примере 3.1.2, найдется $k\in{\mathbb{N}}:\ \displaystyle{\frac{1}{10^k}}<\varepsilon$. Так как $a_n\rightsquigarrow a$, то в таблице (2.4.2) столбцы, начиная с нулевого по $k$-й, стабилизируются, начиная с номера $N_k=N$. Следовательно, для любого $n>N$

$$\begin{eqnarray*} \vert a_n-a\vert & = & \vert\alpha_{n0},\alpha_{n1}\ldots\alp... ...<0,\underbrace{0\ldots0}_{\mbox{$k-1$}}1= 1/{10^k}<\varepsilon , \end{eqnarray*}$$

что означает выполнение определения сходимости $a_n$ к $a$.

Свойство V множества действительных чисел $\mathbb{R}$ может теперь быть сформулировано следующим образом.

Теорема 3.1.2 (Свойство V). Если последовательность $\{a_n\}$ монотонно возрастает и ограничена сверху числом $M\in{\mathbb{R}}$, то существует число $a\in{\mathbb{R}}$ такое, что

$1)$ $a_n\to a$ при $n\to\infty$;

$2)$ для любого $n\in{\mathbb{N}}:\ a_n\le a\le M$.

3.2. Свойства сходящихся последовательностей

Иногда удобно записывать определение сходимости последовательности $a_n\to a$ в следующих эквивалентных первоначальному видах:

$1)\ a_n\to a,\mbox{ если }\forall\ \varepsilon >0 \ \exists\ N(\varepsilon ) \ \forall\ n>N(\varepsilon ):\ a-\varepsilon <a_n<a+\varepsilon ;$

$2)\ a_n\to a,\mbox{ если }\forall\ \varepsilon >0 \ \exists\ N(\varepsilon ) \ \forall\ n>N(\varepsilon ):\ a_n\in O_\varepsilon (a);$

$3)\ a_n\to a,\mbox{ если }\forall\ \varepsilon >0$
вне окрестности $O_\varepsilon (a)$ лежит конечное число элементов последовательности $\{a_n\}$.

Свойство 3.2.1. Если последовательность $\{a_n\}$сходится, то ее предел единственный.

Доказательство (от противного). Пусть

$$\lim_{n\to\infty}{a_n}=a<b=\lim_{n\to\infty}{a_n}.$$

Возьмем $\varepsilon =\displaystyle{\frac{b-a}{3}}>0$, тогда $O_\varepsilon (a) \cap O_\varepsilon (b)=\varnothing$ по выбору $\varepsilon$, с другой стороны, по определению сходимости, для $\varepsilon =\displaystyle{\frac{b-a}{3}}>0$

$$\exists\ N_1\ \forall\ n > N_1:\ x_n\in O_\varepsilon (a),$$

$$\exists\ N_2\ \forall\ n>N_2:\ x_n\in O_\varepsilon (b).$$

Следовательно, для $n>\max\{N_1,N_2\}:\ x_n\in O_\varepsilon (a)\cap O_\varepsilon (b)$, что означает непустоту этого пересечения. Получено противоречие.

Последовательность $\{a_n\}$ называется ограниченной, если $\exists\ M>0\ \forall\ n:\ \vert a_n\vert\le M$. Это означает, что $\{a_n\}\subset [-M,M]$ или что множество $\{a_n\}$ можно накрыть отрезком $[-M,M]$.

Замечание 3.2.1. Ясно, что последовательность $\{a_n\}$ будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком $[-M,M]$, начиная с некоторого номера $N$. (Вне отрезка $[-M,M]$ может лежать лишь конечное число элементов последовательности $\{a_n\}$, следовательно, и всю последовательность можно накрыть некоторым отрезком $[-M_1,M_1]$, где $M\leq M_1$).

Свойство 3.2.2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть $a_n\to a$ и $\varepsilon =1$. Тогда, по определению сходимости, существует номер $N$ такой, что для всех $n>N:\ \vert a_n-a\vert<1$. Следовательно, $\vert a_n\vert-\vert a\vert\le\vert a_n-a\vert<1$, и поэтому $\forall\ n>N:\ \vert a_n\vert<\vert a\vert+1=M$. Итак, по замечанию 3.2.1, последовательность $\{a_n\}$ ограничена.

Свойство 3.2.3. Если последовательность $\{a_n\}$ сходится к числу $a>0$, то вся последовательность $\{a_n\}$ лежит вне окрестности нуля $O_{\frac{a}{2}}(0)$, начиная с некоторого номера.

Для доказательства достаточно взять $\varepsilon =\displaystyle \frac{a}{2}>0$. Тогда, по определению предела, найдется $N(\varepsilon )$, что для всех $n>N(\varepsilon ):\ a-\displaystyle \frac{a}{2}<a_n<a+\frac{a}{2}$, следовательно, $a_n>\displaystyle \frac{a}{2}>0$.

Свойство 3.2.4. Если $a_n\le b_n$ для всех $n$ и

$$\lim_{n\to\infty}{a_n}=a,\quad \lim_{n\to\infty}{b_n}=b,\qua... ...{ то } \quad \lim_{n\to\infty}{a_n}\le\lim_{n\to\infty}{b_n}.$$

Доказательство. Пусть, напротив,

$$\lim_{n\to\infty}{b_n}=b<a=\lim_{n\to\infty}{a_n}.$$

Зададим $\varep silon =\displaystyle{\frac{a-b}{2}}>0$. Тогда по определению сходимости

$$\exists\ N_1\ \forall\ n >N_1:\ a-\varepsilon <a_n<a+\varepsilon ,$$

$$\exists\ N_2\ \forall\ n >N_2:\ b-\varepsilon <b_n<b+\varepsilon .$$

Следовательно, для $n>\max\{N_1,N_2\}$ выполняются соотношения

$$a_n>a-\varepsilon =a-\displaystyle{\frac{a-b}{2}}=b+\displaystyle{\frac{a-b}{2}}= b+\varepsilon >b_n,$$

что противоречит условию теоремы.

Свойство 3.2.5. Если $x_n\le z_n\le y_n$ для всех $n$ и

$$\lim_{n\to\infty}{a_n}=\lim_{n\to\infty}{b_n}=a, \quad \mbox{то}\quad \lim_{n\to\infty}{z_n}=a.$$

Доказательство. Проверим, что выполняется определение сходимости последовательности $z_n$ к числу $a$. Возьмем любое $\varepsilon >0$, тогда из условия $x_n\to a$ следует, что

$$\exists\ N_1 \ \forall\ n>N_1:\ a-\varepsilon <x_n<a+\varepsilon ;$$

из условия $y_n\to a$ следует, что

$$\exists\ N_2 \ \forall\ n>N_2:\ a-\varepsilon <y_n<a+\varepsilon .$$

Поэтому для всех $n>N=\max\left\{N_1,N_2\right\}$ выполняются неравенства

$$a-\varepsilon <x_n\le z_n\le y_n<a+\varepsilon ,$$

следовательно, $a-\varepsilon <z_n<a+\varepsilon$.

Пример 3.2.1. Докажем, что $z_n=\displaystyle{\frac{n}{2^n}}\to0$.

Действительно, для любого $n\in {\mathbb{N}}$, используя результат задачи 1.4.1, получим

$$x_n=0<\displaystyle{\frac{n}{2^n}}=\displaystyle{\frac{n}{(1... ...tyle{\frac{2n}{n(n-1)}}=\displaystyle{\frac{2}{n-1}}=y_n\to0.$$

Следовательно, по свойству 3.2.5, $${\frac{n}{2^n}}\to 0$$.

Пример 3.2.2. Докажем, что $z_n=\displaystyle{\frac{n}{a^n}}\to 0$, где $a>1$.

Рассуждая так же, как в задаче 3.2.1, имеем

$$0<\displaystyle{\frac{n}{a^n}}=\displaystyle{\frac{n}{(h+1)^... ...isplaystyle{\frac{2}{h^2}}\cdot \displaystyle{\frac{1}{n-1}}.$$

Следовательно, по свойству 3.2.5, $${\frac{n}{a^n}}\to0$$ $(a>1)$.

3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие
последовательности

Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности.

Последовательность $\{\alpha_n\}$ называется бесконечно малой, если $\alpha_n\to 0$ при $n\to\infty$. Развернутое определение:

$$\forall\ \varepsilon>0\quad \exists\ N(\varepsilon)\in\mathb... ...forall\ n>N(\varepsilon):\quad \vert\alpha_n\vert<\varepsilon.$$

Докажем основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Свойство 3.3.1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей $\{\alpha_n\}$ и $\{\beta_n\}$ есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Возьмем произвольное $\varepsilon >0$. Для него

$$\exists\ N_1\quad \forall\ n>N_1:\quad \vert\alpha_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}},$$

$$\exists\ N_2\quad\forall\ n>N_2:\quad \vert\beta_n\vert<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}.$$

Тогда

$$\forall\ n>N=\max\left\{N_1,N_2\right\}:\quad \vert\alpha_n\... ...a_n\vert\le\vert\alpha_n\vert+\vert\beta_n\vert<\varepsilon .$$

Свойство 3.3.2. Произведение $\{\alpha_n\sigma_n\}$ бесконечно малой последовательности $\{\alpha_n\}$ на ограниченную последовательность $\{\sigma_n\}$ есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Из ограниченности $\{\sigma_n\}$ следует существование числа $M>0$ такого, что для всех $n\in{\mathbb{N}}:\ \vert\sigma_n\vert\le M$. Следовательно, при любом положительном $\varepsilon >0$ для положительного $\varepsilon /M>0$ существует номер $N\in{\mathbb{N}}$ такой, что для всех $n>N:\ \vert\alpha_n\vert<\varepsilon /M$. Поэтому для этих $n>N$ имеем $\vert\alpha_n\sigma_n\vert=\vert\alpha_n\vert\cdot\vert\sigma_n\vert< \displaystyle{\frac{\varepsilon }{M}}\cdot M=\varepsilon$. Следовательно, по определению Коши, $\alpha_n\sigma_n\to0$ при $n\to\infty$.

Свойство 3.3.3. Для того чтобы последовательность $\{x_n\}$ была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы существовали число $a\in\mathbb{R}$ и бесконечно малая последовательность $\{\alpha_n\}$ такие, что для всех $n\in {\mathbb{N}}$ выполнялось равенство $x_n=a+\alpha_n$.

Доказательство.
Необходимость. Пусть $x_n\to a$ при
$n\to\infty$. Рассмотрим $\alpha_n=x_n-a$, тогда из определения сходимости $x_n\to a$ следует, что $\alpha_n\to 0$ при $n\to\infty$.

Достаточность. Если $x_n=a+\alpha_n$, то из того, что $\{\alpha_n\}$ -- бесконечно малая последовательность и $\alpha_n=x_n-a$ следует, что $x_n\to a$ при $n\to\infty$.

Последовательность $\{x_n\}$ называется бесконечно большой, если

$$\forall\ E>0\quad \exists\ N(E)\in{\mathbb{N}}\quad \forall\ n>N(E):\ \vert x_n\vert>E.$$

Этот факт мы будем записывать так: $x_n\to\infty$ при $n\to\infty$ или

$$\lim_{n\to\infty}{x_n}=\infty.$$

Пример 3.3.1. $\left\{\displaystyle{\frac{1}{n}}\right\}, \left\{\displaystyle{\frac{1}{2^n}}\right\}$ -- бесконечно малые последовательности (см. примеры 3.1.1 и 3.1.2), $\{(-1)^nn\}$ -- бесконечно большая последовательность. Действительно, возьмем любое $E>0$, рассмотрим неравенство $\left\vert(-1)^nn\right\vert=n>E$, тогда $N(E)=[E]+1$ и для любого $n>N(E):$

$$\left\vert(-1)^nn\right\vert=n>N(E)=[E]+1>E.$$

Пример 3.3.2. $${\frac{n^k}{a^n}}\to0$$ при $n\to\infty$, если $a>1$. Действительно,

$$\displaystyle{\frac{n^k}{a^n}}= \displaystyle{\left[\frac{n}... ...\left[\parbox{3cm}{см. пример 3.2.2 и свойство 3.2.2}\right].$$    (см. пример 3.2.2 и свойство 3.2.2)

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности тесно связаны между собой.

Теорема 3.3.1. Последовательность $\{\alpha_n\},\ \alpha_n\ne0,$ является бесконечно малой последовательностью тогда и только тогда, когда последовательность $\left\{\displaystyle{\frac{1}{\alpha_n}}\right\}$ является бесконечно большой.

Доказательство следует из того факта, что неравенство $\vert\alpha_n\vert<\varepsilon$ равносильно неравенству $${\frac{1}{\vert\alpha_n\vert}}>E=\displaystyle{\frac{1}{\varepsilon }}$$, и определений бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

3.4. Свойства пределов, связанные
с арифметическими операциями

Свойство 3.4.1. Если последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ сходятся, то сходится последовательность

$\{x_n+y_n\}$        и        $$\lim_{n\to\infty}{(x_n+y_n)}=\lim_{n\to\infty}{x_n}+\lim_{n\to\infty}{y_n}.$$

Свойство 3.4.2. Если последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ сходятся, то сходится последовательность $\{x_ny_n\}$ и

$$\lim_{n\to\infty}{(x_ny_n)}=\lim_{n\to\infty}{x_n}\lim_{n\to\infty}{y_n}.$$

Доказательство. Пусть $x_n\to a,\ \ y_n\to b$.
Тогда $x_n=a+\alpha_n, \ y_n=a+\beta_n$ и $\alpha_n,\beta_n\to0$ при $n\to\infty$. Поэтому

$$x_ny_n=(a+\alpha_n)(b+\beta_n)=ab+b\alpha_n+a\beta_n+\alpha_n\beta_n.$$

В силу свойств 3.3.1-3.3.3 бесконечно малых последовательностей

$$b\alpha_n+a\beta_n+\alpha_n\beta_n\to0\quad \mbox{ при }\quad n\to\infty.$$

Свойство 3.4.3. Если последовательности $\{x_n\}$ и $\{y_n\}$ сходятся к $a$ и $b\ne0$ соответственно, то последовательность $\left\{\displaystyle{\frac{x_n}{y_n}}\right\}$ сходится к $${\frac{a}{b}}.$$

Доказательство. Так как $y_n\to b$ (пусть для определенности $b>0$), то по свойству 3.2.3, начиная с некоторого номера $N:\ y_n>\displaystyle{\frac{b}{2}}>0$. Поэтому определена последовательность $\left\{\displaystyle{\frac{x_n}{y_n}}\right\}$ $[y_n\ne0\mbox{ для }n>N]$ и $0<\displaystyle{\frac{1}{y_n}}<\displaystyle{\frac{1}{b/2}}= \displaystyle{\frac{2}{b}}.$ Рассмотрим для номеров $n>N$ цепочку равенств

$$\displaystyle{\frac{x_n}{y_n}}-\displaystyle{\frac{a}{b}}= \... ...ac{a}{b}}= \displaystyle{\frac{1}{by_n}}(b\alpha_n-a\beta_n).$$

Так как последовательность $\{b\alpha_n-a\beta_n\}$ -- бесконечно малая, а последовательность $${\frac{1}{y_n}}$$ ограничена, то $\left\{\displaystyle{\frac{x_n}{y_n}}-\displaystyle{\frac{a}{b}}\right\}$ -- бесконечно малая последовательность, следовательно, по свойству 3.3.3, последовательность $${\frac{x_n}{y_n}}$$ стремится к $${\frac{a}{b}}$$.

Пример 3.4.1. Найдем

$$\lim_{n\to\infty}{\displaystyle{\frac{(n+1)^3+(n-1)^3} {n^3-2n^2}}}.$$

Если непосредственно переходить к пределу в числителе и знаменателе, то получим неопределенность $\Bigl[\displaystyle{\frac{\infty}{\infty}}\Bigr]$. Поэтому преобразуем нашу последовательность

$$x_n=\displaystyle{\frac{(n+1)^3+(n-1)^3}{n^3-2n^2}}= \left[\... ...} \centerline {и знаменатель на} \centerline {$n^3$}} \right]=$$

$$=\displaystyle{\frac{(1+1/n)^3+(1-1/n)^3}{1-2/n}}= \left[\pa... ...использовать свойства} \centerline {3.4.1--3.4.3}} \right]\to$$

$$\to\displaystyle{\frac{(1+0)^3+(1-0)^3}{1-0}}=2.$$

Пример 3.4.2. Найдем

$$\lim_{n\to\infty}{\left(\displaystyle{\frac{2+4+\ldots+2n} {n+3}}-n\right)}.$$

Преобразуем нашу последовательность

$$x_n=\displaystyle{\frac{2+4+\ldots+2n}{n+3}}-n= \left[\parbo... ...ine {используем формулу} \centerline { задачи 1.4.1}}\right]=$$

$$=\displaystyle{\frac{2n(n+1)}{2(n+3)}}-n= \displaystyle{\fra... ...style{\frac{-2n}{n+3}}= -\displaystyle{\frac{2}{1+3/n}}\to-2.$$

Пример 3.4.3. Найдем

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-3}\right).$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю $\sqrt{n+2}+\sqrt{n-3}$, тогда получим

$$\frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-3}\right) \left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n-3}\right)}{\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n-3}\right)}=$$

$$=\frac{\sqrt{n}(n+2-n+3)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-3}}\to\frac{5}{2}.$$

3.5. Число $e$

Рассмотрим последовательность $y_n=\left(1+\displaystyle{\frac{1}{n}}\right)^{n+1}$. Докажем, что эта последовательность убывает и, так как $\{y_n\}$ ограничена снизу, например, числом $M=1$, то она сходится к некоторому числу. Действительно, рассмотрим отношение соседних членов последовательности $\{y_n\}$:

$$\begin{eqnarray*} \frac{y_{n-1}}{y_n} & = & \frac{\left(1+1/(n-1)\right)^n} {\le... ...rac{n}{n+1}> \\ &>& \left(1+\frac{1}{n}\right)\frac{n}{n+1}=1. \end{eqnarray*}$$

Итак, $y_n\searrow$, кроме того,

$$y_n> \left[\parbox{3cm}{\centerline {по неравенству} \centerline {Бернулли}}\right] >1+\frac{n+1}{n}>2.$$

Следовательно, последовательность $\{y_n\}$ сходится к некоторому числу, не меньшему 2. Это число принято обозначать символом $e.$ Так как $\left(1+\!\displaystyle \frac{1}{n}\right)\!\to1$, то

$$\lim_{n\to\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}={\Large e}.$$

Замечание. Мы "раскрыли" простейшую неопределенность вида $\left[1^\infty\right]$.

Задача 3.5.1. Доказать, что $x_n=\left(1+\displaystyle \frac{1}{n}\right)^n$ возрастает и ограничена сверху.