Глава 7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

7.1. Производная функции в точке

7.2. Дифференцируемые функции. Дифференцируемость

7.3. Производная сложной функции

7.4. Производная обратной функции

7.5. Производные и дифференциалы высшего порядка

7.6. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

7.7. Формулы Тейлора

Глава 7

Дифференциальное исчисление
функции одной переменной

7.1. Производная функции в точке

Важной характеристикой движения материальной точки является ее мгновенная скорость. Допустим, материальная точка движется по закону $S(t)=\displaystyle \frac{1}{2}gt^2$ по прямой, т. е. находится в свободном падении под действием постоянной силы тяжести. Фиксируя произвольный момент времени $t$ и какое угодно его приращение $\Delta t>0$, получим среднюю скорость на отрезке времени $[t,t+\Delta t]$

$$v_{ср}=\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}.$$

Для нашего закона движения

$$v_{ср}=\frac{g(t+\Delta t)^2-gt^2}{2\Delta t}=gt+\frac{1}{2}g\Delta t.$$

Средняя скорость непостоянна, она зависит от момента времени $t$ и от приращения времени $\Delta t$. Мгновенной скоростью (или просто скоростью) движущейся точки называется предел, к которому стремится средняя скорость $v_{ср}(t,\Delta t)$ при стремлении к нулю приращения времени, т. е.

$$v(t)=\lim_{\Delta t\to 0}{v_{ср}}= \lim_{\Delta t\to 0}{\frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}}.$$

Итак, при нахождении скорости изменения какой-то переменной величины $y=f(x)$ в точке $x$ нам нужно совершить предельный переход

$$\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta f}{\Delta x}}= \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}= f^{'}(x).$$

Число $f^{'}(x)$, если такой предел существует, называется производной функции $y=f(x)$ в точке $x$.

Задача о проведении касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x$ тоже приводит к необходимости совершить подобного рода предельный переход. Рассмотрим квадратичную функцию $y=ax^2$ и ее график. Проведем касательную к этой кривой в точке $M(x,ax^2)$.

Касательной к кривой в точке $M$ называется предельное положение секущей $MM_1$ (если оно существует) при стремлении точки $M_1$ вдоль кривой к точке $M$ (см. рис 7.1.1).

Рис. 7.1.1

Придадим абсциссе $x$ приращение $\Delta x$, получим соответствующее приращение функции $\Delta y$ и тангенс угла наклона секущей $MM_1$:

$$\tg \beta=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}.$$

В нашем случае $\tg \beta=\displaystyle \frac{a(x+\Delta x)^2-ax^2}{\Delta x}= 2ax+a\Delta x$. Предельное положение секущей существует при $\Delta x\to 0$, и тангенс угла наклона ее есть

$$\tg \alpha=y^{'}(x)=\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}=2ax.$$

Существование производной функции в точке и непрерывность ее в этой точке тесно связаны.

Теорема 7.1.1. Если функция $f(x)$ имеет производную в точке $x,$ то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из существования $f^{'}(x)$ следует, что разность

$$\frac{\Delta f(\Delta x)}{\Delta x}-f^{'}(x)=\varepsilon(\Delta x)$$

есть бесконечно малая функция при $\Delta x\to 0$. Отсюда

$$\frac{\Delta f(\Delta x)}{\Delta x}=f^{'}(x)+\varepsilon(\Delta x)$$

и, следовательно, приращение функции

$$\Delta f(\Delta x)= f^{'}(x)\Delta x+\varepsilon(\Delta x)\Delta x \eqno(7.1.1)$$

есть бесконечно малая функция при $\Delta x\to 0$. Отсюда

$$\lim\limits_{\Delta x\to0}\Delta f(\Delta x)= \lim\limits_{\Delta x\to0}[f(x+\Delta x)-f(x)]=0,$$

т.е. $\lim\limits_{\Delta x\to0}f(x+\Delta x)=f(x)$, что означает непрерывность функции $f(x)$ в точке $x$.

Пример 7.1.1. Функция $f(x)=\vert x\vert$ непрерывна в точке $x=0$, но производная в точке $x=0$ не существует, так как не существует предел $\lim\limits_{\Delta x\to0}\displaystyle \frac{\vert\Delta x\vert}{\Delta x}$.

Свойства производной

Пусть функции $f$ и $g$ имеют производные в точке $x$. Тогда существуют производные в левых частях следующих равенств и имеют место соотношения:

1) $(f(x)+g(x))^{'}=f^{'}(x)+g^{'}(x)$;

2) $(f(x)g(x))^{'}=f^{'}(x)g(x)+f(x)g^{'}(x)$;

3) $\left(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\right)^{'}=\displaystyle \frac{g(x)f^{'}(x)-g^{'}(x)f(x)}{g(x)^2}, \ \ g(x)\not=0$.

Докажем, например, свойство 2. Рассмотрим

$$\begin{eqnarray*} &&\frac{\Delta\left[f(x)g(x)\right]}{\Delta x} = \frac{f(x+\D... ...rac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\to f^{'}(x)g(x)+f(x)g^{'}(x). \end{eqnarray*}$$

Производные элементарных функций

1) $\left(x^n\right)^{'}=nx^{n-1},\ n\in{\Bbb Z}$;

2) $\left(\sin x\right)^{'}=\cos x,\ \left(\cos x\right)^{'}=-\sin x$;

3) $\left(e^x\right)^{'}=e^x, \ \left(a^x\right)^{'}=a^x\ln a$;

4) $(\tg x)^{'}=\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$.

Доказательство

$$\begin{eqnarray*} &1)& (x^n)^{'} = \lim_{\Delta x\to 0}{\frac{(x+\Delta x)^n-x^n... ...{\Delta x\to0} {\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=a^x\ln a.\\ \end{eqnarray*}$$

7.2. Дифференцируемые функции.
Дифференцируемость

Рассмотрим приращение функции $f$ в точке $x$

$$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x).$$

Поведение этого приращения, как функции приращения аргумента $\Delta x$ при фиксированном $x$, показывает, существует ли производная в этой точке у функции $f$. В случае существования производной $f^{'}$ приращение $\Delta f(x)$ может быть записано в виде (см. (7.1.1)):

$$\Delta f(x)=f^{'}(x)\Delta x+\varepsilon(\Delta x)\Delta x.$$

Если же приращение функции $f$ в точке $x$ может быть записано в виде

                   $$\Delta f(x)=A\,\Delta x+o(\Delta x), \eqno(7.2.1)$$

то функция $f$ называется дифференцируемой в точке $x$. Докажем, что если функция имеет производную в точке $x$, то она дифференцируема в ней.

Теорема 7.2.1. Функция $f$ имеет производную в точке $x$ тогда и только тогда, когда она дифференцируема в этой точке.

Доказательство.
Необходимость доказана выше.

Достаточность. Рассмотрим $$\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}= A+\displaystyle \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$. По определению $o(\Delta x)$ имеем

$$\lim_{\Delta x\to 0}{\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}}=A=f^{'}(x).$$

Отсюда следует, что при наличии дифференцируемости функции $y=f(x)$ в точке $x$ главную роль в приращении $\Delta f(x)$ играет линейная часть $A\,\Delta x=f^{'}(x)\Delta x$. Она называется дифференциалом функции $f(x)$ в точке $x$ и обозначается

                         $$d f(x)=f^{'}(x)dx. \eqno(7.2.2)$$

Здесь $\Delta x=dx.$

Замечание 7.2.1. Если функция задана в виде $y=y(x)$, то и приращение ее, и дифференциал можно записать так:

$$\Delta y=y^{'}(x)\Delta x+o(\Delta x),$$

$$dy=y^{'}(x)dx.$$

Пример 7.2.1

$$d(\tg x)=(\tg x)^{'}dx=\frac{dx}{\cos^2x},$$

$$d(a^x)=(a^x)^{'}dx=a^x\ln adx.$$

Дифференциал функции в точке обладает важными свойствами. Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы в точке $x$, тогда имеют место равенства

$$d\left[f(x)+g(x)\right]=du(x)+dv(x),$$

$$d\left[u(x)v(x)\right]=u(x)dv(x)+v(x)du(x),$$

$$d\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]=\frac{v(x)du(x)-u(x)dv(x)}{v^2(x)}.$$

Доказательства этих свойств легко следуют из определения и свойств производных.

Пример 7.2.2

$$\begin{eqnarray*} d(\tg x) &=& d\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)= \frac{\cos ... ... d(e^x\sin x) &=& e^x\sin xdx+e^x\cos xdx=e^x(\cos x+\sin x)dx. \end{eqnarray*}$$

7.3. Производная сложной функции

Теперь можно установить важное в практических приложениях правило, позволяющее вычислить производную сложной функции, если известны производные составляющих ее функций.

Теорема 7.3.1. Пусть задана сложная функция $z=F(x)=f(\varphi(x))$;
функция $\varphi$ имеет производную в точке $x_0$, а функция $f$ имеет производную в точке $y_0 = \varphi(x_0)$.
Тогда функция $F$ имеет производную в точке $x_0$ и

$$F^{'}(x_0)=f^{'}(y_0)\varphi^{'}(x_0).$$

Доказательство. Так как функция $z=f(y)$ дифференцируема в точке $y_0$, то

$$\Delta z(\Delta y)=f^{'}(y_0)\Delta y+\varepsilon(\Delta y)\Delta y,$$

где $\varepsilon(\Delta y)\to0$ при $\Delta y\to0$. Если положить $\varepsilon(0)=0$, то функция $\varepsilon(\Delta y)$ непрерывна в точке $\Delta y=0$.

Придадим переменной $x$ в точке $x_0$ малое приращение $\Delta x$; оно влечет приращение зависимой переменной $z$: $\Delta z(\Delta y(\Delta x))$. Итак,

$$\Delta F(x_0)=\Delta z(\Delta y(\Delta x))=f^{'}(y_0)\Delta... ...Delta x)+ \varepsilon(\Delta y(\Delta x))\Delta y(\Delta x).$$

Разделив на $\Delta x\not=0$, получим

$$\frac{\Delta F(x_0)}{\Delta x}=f^{'}(y_0)\frac{\Delta y(\De... ...\Delta x))\frac{\Delta y(\Delta x)}{\Delta x}. \eqno (7.3.1)$$

Так как существует $\varphi^{'}(x_0)$, то функция $\varphi(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и, следовательно, $\Delta y(\Delta x)\to0$ при $\Delta x\to 0$ (теорема 7.1.1), и так как $\Delta y(0)=0$, то функция $\Delta y(\Delta x)$ непрерывна в точке $\Delta x=0$. Отсюда сложная функция, как суперпозиция непрерывных функций $\varepsilon(\Delta y(\Delta x))$, непрерывна в точке $\Delta x=0$.

Теперь, переходя к пределу в (7.3.1) при $\Delta x\to 0$, получим

$$F^{'}(x_0)=f^{'}(y_0)\varphi^{'}(x_0).$$

Пример 7.3.1. $z=F(x)= e^{\sin x},$

$$\ F(x)=f(\varphi(x)),\ z= e^y = f(y),\ y = \varphi(x) = \sin x.$$

Тогда

$$F^{'}(x)=e^y(\sin x)^{'}=e^{\sin x}\cos x.$$

Замечание 7.3.1. Из теоремы 7.3.1 следует инвариантность формы первого дифференциала.

Если задана функция от функции (как в теореме 7.3.1)

$$z=F(x)=f(\varphi(x)),\ \ z=f(y),\ \ \varphi=\varphi(x),$$

то дифференциал зависимой переменной $z$ равен произведению производной от нее по одной из переменных $x$ или $y$ на дифференциал по этой переменной, причем неважно, зависимая эта переменная или нет. Действительно,

$$dz=F^{'}(x_0)dx=\left[\parbox{2.8cm}{по теореме 7.3.1}\right]= f^{'}(y_0)\varphi^{'}(x_0)dx=f^{'}(y_0)dy.$$

Пример 7.3.2. Найдем дифференциал функции $z=\arcsin \ln(x^2+a^2)$:

$$\begin{eqnarray*} dz &=& \frac{d\ln(x^2+a^2)}{\sqrt{1-\ln^2(x^2+a^2)}}=\\ &=&\f... ...2+a^2)}=\\ &=&\frac{2xdx}{\sqrt{1-\ln^2(x^2+a^2)}\,(x^2+a^2)}. \end{eqnarray*}$$

7.4. Производная обратной функции

Теорема 7.4.1. Пусть функция $y=f(x)$ определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки $x_0$, и пусть в этой точке производная $f^{'}(x_0)\not=0$. Тогда и обратная функция $x=f^{-1}(y)$ имеет производную в точке $y_0=f(x_0)$, причем

$$\left[f^{-1}\right]^{'}(y_0)=\frac{1}{f^{'}(x_0)}.$$

Доказательство. Зафиксируем некоторый отрезок с центром в точке $x_0\in[a,b].$ На отрезке $[a,b]$ функция $f$ строго монотонна (пусть возрастающая), непрерывна. Тогда по теореме 6.4.2 существует обратная к ней функция $x=f^{-1}(y),$ непрерывная и строго возрастающая на отрезке $[A,B]=[f(a),f(b)]$. Поскольку функции $f(x)$ и $f^{-1}(y)$ непрерывны в точках $x_0$ и $y_0$, то при $\Delta x\to 0$, $\Delta y=\Delta f(\Delta x)\to0$; при $\Delta y\to0$, $\Delta x=\Delta f^{-1}(\Delta y)\to0$. Из строгой монотонности следует, что $\Delta x\not=0\Longleftrightarrow\Delta y\not=0$.

Рассмотрим

$$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta f^{-1}(\Delta y)}{\Delta y} &=& \frac{\Delta x(\... ...left(\displaystyle \frac{\Delta y(\Delta x)}{\Delta x}\right)}. \end{eqnarray*}$$

Итак, поскольку $\Delta y\to0\Longleftrightarrow\Delta x\to0$, имеем

$$\begin{eqnarray*} \left[f^{-1}\right]^{'}(y_0) &=& \lim_{\Delta y\to0}\frac{\D... ...{\Delta y(\Delta x)}{\Delta x}\right)} = \frac{1}{f^{'}(x_0)}. \end{eqnarray*}$$

Пример 7.4.1.

1) $\ \ y=a^x,\ \ x=\log_a y$,

$$\left(\log_a y\right)^{'}=\frac{1}{(a^x)^{'}}=\frac{1}{(a^x... ...\frac{1}{y\ln a},\ \ \ \ \left(\ln y\right)^{'}=\frac{1}{y};$$

2) $\ \ y=\sin x, \ \ x=\arcsin y,\ \ -\displaystyle \frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$,

$$\begin{eqnarray*} \left(\arcsin y\right)^{'} &= & \frac{1}{(\sin x)^{'}} = \f... ... = & \frac{1}{+\sqrt{1 - \sin^2x}} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}; \end{eqnarray*}$$

3) $\ \ y=\tg x,\ \ x=\arctg y,\ \ -\displaystyle \frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$,

$$\left(\arctg y\right)^{'}= \frac{1}{(\tg x)^{'}}=\cos^2x=\frac{1}{1+\tg ^2x}= \frac{1}{1+y^2};$$

4) $\ \ y=x^b=e^{b\ln x},\ \ y^{'}=x^b\left(b\ln x\right)^{'}=bx^{b-1}$.

7.5. Производные и дифференциалы высшего порядка

Пусть функция $f$ определена и дифференцируема на интервале $(a,b)$ и $x_0\in (a,b)$. Производная функции $f^{'}$ в точке $x_0$ (если она существует) называется второй производной функции $f$ и обозначается $f^{''}(x_0)$. Аналогично определяется производная $n$-го порядка через производную $(n-1)$-го порядка.

Пример 7.5.1

1) $f(x)=x^2,\ f^{'}(x)=2x,\ f^{''}(x)=2,\ f^{'''}(x)=0$, ...;

2) $f(x)=a^x,\ f^{'}(x)=a^x\ln a,\ f^{''}(x)=a^x\ln^2a$, ...;

3) $f(x)=e^x\sin x,\ f^{'}(x)=e^x\sin x+e^x\cos x,$ $\phantom{xx} f^{''}(x)=2e^x\cos x$.

Функция $f(x)$ называется $n$ раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до $n$-го порядка включительно.

Пример 7.5.2. Функция $f(x)= x^2\vert x\vert$ лишь дважды непрерывно дифференцируемая на ${\Bbb R}$.

Дифференциал высшего порядка

Пусть функция $y=f(x)$ дифференцируема в некотором интервале $(a,b)$ и

$$dy=f^{'}(x)dx.$$

Здесь дифференциал $dy$ есть функция двух переменных -- $x$ и $dx$:

$$dy=df(x,dx).$$

Пусть производная $f^{'}(x)$ дифференцируема в точке $x_0\in (a,b)$. Тогда дифференциал в этой точке функции $dy$, если рассматривать его как функцию только от переменной $x$ при фиксированной второй переменной $dx$, имеет вид (обозначим его $\delta$, в отличие от $d$ для первого дифференциала)

$$\delta(dy)=\left.\delta\left[f^{'}(x)dx\right]\right\vert _... ...[f^{'}(x)dx\right]^{'}_{x=x_0}\delta x=f^{''}(x_0)dx\delta x.$$

Вторым дифференциалом $d^2y$ функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется дифференциал от $dy$ (т. е. дифференциал от первого дифференциала $dy=df(x,dx)$, как функции от переменной $x$ при фиксированной переменной $dx$):

$$d^2y=d^2f(x,dx)= \left.\phantom{\frac{AG}{Ag}}\hspace{-8mm... ...ray}{l} x=x_0\\ \delta x=dx \end{array}}= f^{''}(x_0)dx^2.$$

Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков:

$$d^ny=\left.\delta\left(d^{(n-1)}y\right)\right\vert _{\scriptsize\begin{array}{l} x=x_0\\ \delta x=dx \end{array}}\!\!\!.$$

Производная функции, заданной параметрически

Точки плоскости, удовлетворяющие системе

$$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\cos t,\\ y&=&\sin t,\ \ \ 0\leq t\leq \pi,\\ \end{array} \right. \eqno(7.5.1)$$

лежат на верхней полуокружности радиуса единица с центром в начале координат. Для функции $x=\cos t$ на отрезке $[0,\pi]$ существует обратная функция $t=\arccos x$. Тем самым можно исключить переменную $t$ из системы и получить зависимость $y=f(x)$:

$$\begin{eqnarray*} y&=&f(x)=y\left(t(x)\right)=\sin\arccos x=\left[\parbox{15mm}... ...\pi]$}\right]= \\ &=&+\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}=\sqrt{1-x^2}, \end{eqnarray*}$$

$$f(x)=\sqrt{1-x^2},\ \ \ \ f^{'}(x)=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Нельзя ли эту производную найти, используя лишь параметрическое задание функции, не разрешая системы (7.5.1)?
Пусть функции

$$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&x(t)\,,\\ y&=&y(t)\,,\\ \end{array} \right. \eqno(7.5.2)$$

определены, непрерывны на некотором промежутке $(\alpha,\beta)$, а функция $x(t)$ строго монотонна на нем. Тогда для функции $x(t)$ существует обратная функция $t=t(x)$, определенная на некотором промежутке $(a,b)$ и, следовательно, имеет смысл сложная функция $f(x)=y(t(x))$. Эта функция $y=f(x)$ называется функцией, параметрически заданной системой (7.5.2).

Теорема 7.5.1. Пусть системой функций $(7.5.2)$ параметрически задана функция $y=f(x)$. Если функции $x(t)$ и $y(t)$ имеют в точке $t_0$ производные и $x^{'}(t_0)\not=0$, то параметрически заданная функция $f(x)$ имеет в точке $x_0=x(t_0)$ производную, и она вычисляется по формуле

$$f^{'}(x_0)=\frac{y^{'}(t_0)}{x^{'}(t_0)},\ \ t_0=t(x_0).$$

Доказательство. Обратная функция $t=t(x)$ имеет в точке $x_0$ производную по теореме о производной обратной функции (теорема 7.4.1) $t^{'}(x_0)=1/x^{'}(t_0)$. Итак, по теореме о производной сложной функции (теорема 7.3.1), $f(x)=y(t(x))$

$$f^{'}(x_0)=y^{'}(t(x_0))t^{'}(x_0)=\frac{y^{'}(t_0)}{x^{'}(t_0)}.$$

Пример 7.5.3. Производная функции, заданной параметрически системой

$$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\cos t,\\ y&=&\sin t,\ \ \ 0\leq t\leq \pi,\\ \end{array} \right.$$

теперь уже может быть вычислена по этой теореме

$$f^{'}(x)=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{x}{\sin\arccos x}= -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Замечание 7.5.1. Если существуют производные второго порядка $y^{''}(t_0)$ и $x^{''}(t_0)$, то существует вторая производная для функции $f(x)$, заданной параметрически системой (7.5.2). Действительно,

$$\begin{eqnarray*} f^{''}(x_0)&=&\left.\left(\frac{y^{'}(t(x))}{x^{'}(t(x))}\righ... ...x^{'}}^2(t)}\right)\right\vert _{t=t_0)} \frac{1}{x^{'}(t_0)}. \end{eqnarray*}$$

Итак, имеет место формула

$$f^{''}(x_0)=\frac{x^{'}(t_0)y^{''}(t_0)-y^{'}(t_0)x^{''}(t_0)}{\left[x^{'}(t_0)\right]^3}.$$

Пример 7.5.4. Вычислим вторую производную в примере 7.5.3:

$$f^{''}(x)=\left.\frac{-\sin^2t-\cos^2t}{\sin^3t}\right\vert... ...ac{1}{\sin^3t}\right\vert _{t=t(x)}=-\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}.$$

7.6. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема 7.6.1 (Ферма). Если функция $f$ определена на интервале $(a,b)$, в точке $\xi\in(a,b)$ принимает наибольшее значение и производная $f^{'}(\xi)$ существует, то $f^{'}(\xi)=0.$

Доказательство. По условию теоремы для всех $x\in(a,b)$ выполняется неравенство $f(x)\leq f(\xi)$.
Тогда (см. рис. 7.6.1)

$$\mbox{если\quad $x<\xi$,\quad то} \quad \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\geq0, \eqno(7.6.1)$$

$$\mbox{если\quad $x>\xi$,\quad то} \quad \frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi}\leq0. \eqno(7.6.2)$$

Так как существует производная

$$f^{'}(\xi)=\lim_{x\to\xi}\frac{f(x)-f(\xi)}{x-\xi},$$

то существуют и односторонние производные, и они равны производной $f^{'}(\xi)$. Поэтому из (7.6.1) следует $f^{'}_-(\xi)=f^{'}(\xi)\geq0$, а из (7.6.2) следует $f^{'}_+(\xi)=f^{'}(\xi)\leq0$. Отсюда имеем $f^{'}(\xi)=0$.

Теорема 7.6.2 (Ролля). Пусть функция $f$

$1)$ непрерывна на отрезке $[a,b];$

$2)$ имеет в каждой точке интервала $(a,b)$ производную;

$3)$ имеет на концах отрезка равные значения: $f(a)=f(b)$.

Тогда существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $f^{'}(\xi)=0$.

Доказательство. По второй теореме Вейерштрасса (теорема 6.2.2) непрерывная функция $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ принимает наибольшее и наименьшее значения в некоторых точках отрезка $[a,b]$ (см. рис. 7.6.2). Пусть

$$M=\max_{x\in [a,b]}f(x),\ \ \ m=\min_{x\in [a,b]}f(x).$$

Рис. 7.6.1                                                  Рис. 7.6.2

Если $m=M$, то $f(x)\equiv {\rm const}$, поэтому $f^{'}(x)\equiv0$ на $(a,b)$.

Если $m\not=M$, т. е. $m<M$, то из условия $f(a)=f(b)$ следует, что одно из значений, $m$ или $M$, функцией $f(x)$ не принимается на концах отрезка $[a,b]$, а принимается внутри интервала $(a,b)$. Пусть, для определенности, значение $M$ принимается внутри интервала $(a,b)$, т. е. существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что

$$\max_{x\in [a,b]}f(x)=f(\xi)=M\geq f(x)\quad \mbox{ для всех }x\in(a,b).$$

Так как производная функции $f(x)$ существует в точке $\xi$, то по теореме Ферма (теорема 7.6.1) $f^{'}(\xi)=0$.

Теорема 7.6.3 (Лагранжа). Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и имеет производную в каждой точке интервала $(a,b)$. Тогда существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $f(b)-f(a)=f^{'}(\xi)(b-a)$ (см. рис. 7.6.3).

Доказательство. Рассмотрим функцию $F(x)=f(x)-\lambda x$, где параметр $\lambda$ выберем так, чтобы $F(a)=F(b)$, т. е. $f(a)-\lambda a=f(b)-\lambda b$. Отсюда

$$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Для функции $F(x)$ выполнены все условия теоремы Ролля (теорема 7.6.2):

1) $F(x)$ непрерывна на $[a,b]$;

2) существует $F^{'}(x)=f^{'}(x)-\lambda$ в $(a,b)$;

3) $F(b)=F(a)$.

Тогда по теореме Ролля существует $\xi\in(a,b)$ такая, что $F^{'}(\xi)=0$, т. е. $f(\xi)=\lambda$. Следовательно,

$$f^{'}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Замечание 7.6.1. При $a=x,\ b-a=\Delta x$, т. е. $b=a+\Delta x$, получаем формулу конечных приращений Лагранжа

$$f(x)-f(x_0)=f^{'}(\xi)(x-x_0), \quad \xi=x+\theta\Delta x,\quad 0<\theta<1,$$

или $\Delta y=f^{'}(x+\theta\Delta x)\Delta x.$

Полезно сравнить это равенство с асимптотической формулой

$$\Delta y= f^{'}(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$

Следствие 7.6.1. Пусть функция $f$

$1)$ непрерывна на $[x_0,b);$

$2)$ дифференцируема на $(x_0,b);$

$3)$ существует $\lim\limits_{x\to x_0+0}f^{'}(x)$, конечный или нет.

Тогда существует правая производная $f^{'}_+(x_0)$, конечная или нет, и $f^{'}_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0+0}f^{'}(x)$.

Напомним, что $f^{'}_+(x_0)=+\infty$, если функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ справа и существует

$$\lim_{\Delta x\to+0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=+\infty.$$

Доказательство. Пусть $f^{'}(x)\to A$. Возьмем любое
$x\in(x_0,b)$, тогда по теореме Лагранжа (теорема 7.6.3), примененной к отрезку $[x_0,x]$, существует точка $\xi\in(x_0,x)$ такая, что выполняется равенство $f(x)-f(x_0)=f^{'}(\xi)(x-x_0)$ (см. рис. 7.6.4).

Рис. 7.6.3                                                               Рис. 7.6.4

Точка $\xi$ будет зависеть от $x:\ \xi=\xi(x)$, т. е. выбирается какое-то одно значение $\xi$ в $(x_0,x)$. Итак, $x_0<\xi(x)<x$. Отсюда следует, что $\xi(x)\to x_0$ при $x\to x_0+0$. Следовательно, определена сложная функция $f^{'}\!\left(\xi(x)\right)$ и

$$\lim_{\xi\to x_0+0}f^{'}(\xi)=A,\quad \lim_{\xi\to x_0+0}\xi(x)=x_0,\quad \xi(x)\not=0.$$

По правилу вычисления предела сложной функции имеем

$$\lim_{x\to x_0+0}F(x)=\lim_{x\to x_0+0}f^{'}\left(\xi(x)\right)= \lim_{\xi\to x_0+0}f^{'}(\xi)=A.$$

Следовательно,

$$A=\lim_{x\to x_0+0}f^{'}\left(\xi(x)\right)= \lim_{x\to x_0+0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{'}_+(x_0).$$

Пример 7.6.1. $f(x)=\sqrt{\sin x^2}$, вычислим $f^{'}_-(0)$, $f^{'}_+(0)$, $f^{'}_-(\sqrt\pi)$:

$$\begin{eqnarray*} f^{'}_-(0)&=&\lim_{x\to0-0}f^{'}(x)= \lim_{x\to0-0}\frac{x\c... ...lim_{x\to\sqrt\pi-0}\frac{x\cos x^2}{\sqrt{\sin x^2}} =-\infty. \end{eqnarray*}$$

Теорема 7.6.4 (Коши). Пусть функции $f$ и $g$

$1)$ непрерывны на отрезке $[a,b];$

$2)$ дифференцируемы на интервале $(a,b);$

$3)$ производная $g^{'}\not=0$ во всех точках интервала $(a,b)$.

Тогда существует такая точка $\xi\in(a,b)$, что имеет место

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}.$$

Доказательство. $\ g(b)\not=g(a)$, иначе по теореме Ролля (теорема 7.6.2) для функции $g(x)$ существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $g^{'}(\xi)=0$.

Рассмотрим функцию $F(x)=f(x)-\lambda g(x)$. Параметр $\lambda$ подберем так, чтобы $F(a)=F(b)$:

$$f(a)-\lambda g(a)=f(b)-\lambda g(b),$$

следовательно,

$$\lambda= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)},\quad \mbox{ так как }\quad g(b)-g(a)\not=0.$$

Итак, функция $F$ удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, поэтому существует точка $\xi\in(a,b)$ такая, что $F^{'}(\xi)=0$. Отсюда $f^{'}(\xi)-\lambda g^{'}(\xi)=0$ и

$$\lambda=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}.$$

Раскрытие неопределенностей

по правилу Лопиталя

Теорема 7.6.5 (Лопиталя). Пусть функции $f$ и $g$

$1)$ дифференцируемы в выколотой окрестности $\check{O}(x_0)$ точки $x_0;$

$2)$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0;$

$3)$ $g^{'}(x)\not=0$ для всех $x\in \check{O}(x_0);$

$4)$ существует предел, конечный или бесконечный,

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}.$$

Тогда существует и предел

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}$$

и имеет место равенство

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}.$$

Доказательство проведем для случая $x\to x_0+0.$ Функции $f$ и $g$ непрерывны на некотором интервале $(x_0,b)$ как дифференцируемые на нем функции. Доопределим функции $f$ и $g$ в точке $x_0$: $f(x_0)=g(x_0)=0$. Таким образом, они становятся непрерывными на отрезке $[x_0,b]$. Возьмем любое $x\in(x_0,b)$, тогда на отрезке $[x_0,x]$ функции $f$ и $g$ удовлетворяют условиям теоремы Коши (теорема 7.6.4) о среднем значении, поэтому существует точка $\xi=\xi(x)\in(x_0,x)$ такая, что

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}= \frac{f^{'}(\xi(x))}{g^{'}(\xi(x))}.$$

Заметим, что $g(x)\not=0$, иначе по теореме Ролля $g^{'}(\xi)=0$ в некоторой точке $\xi\in(x_0,b)$. Ясно, что и здесь $\xi(x)\to x_0$ при $x\to x_0+0$. Поэтому, по правилу вычисления предела сложной функции, имеем

$$\lim_{\xi\to x_0+0}\frac{f^{'}(\xi)}{g^{'}(\xi)}= \lim_{x\t... ...(\xi(x))}{g^{'}(\xi(x))}= \lim_{x\to x_0+0}\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Пример 7.6.2

$$\begin{eqnarray*} 1) && \lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}= \lim\limits_{x\to... ...to0}\frac{\sin x}{2x}= \frac{1}{2}. \phantom{xxxxxxxxxxxxxxxx} \end{eqnarray*}$$

Сформулируем еще одно правило.

Теорема 7.6.6. Пусть функции $f$ и $g$

$1)$ дифференцируемы на интервале $(a,+\infty);$

$2)$ $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)= \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\infty;$

$3)$ $g^{'}(x)\not=0$ на $(a,+\infty);$

$4)$ существует конечный или бесконечный $\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}$.
Тогда существует и предел $\lim\limits_{x\to+\infty}\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$, и они равны.

Пример 7.6.3. Пусть $\alpha>0,\ \ a>0$.

$$\begin{eqnarray*} 1) && \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}= \left... ...\ln a}=\ldots= \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{n!}{a^x\ln^na}=0. \end{eqnarray*}$$

7.7. Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочлена

Пусть дан некоторый многочлен $n$-й степени (с действительными коэффициентами)

            $$P_n(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_nx^n. \eqno(7.7.1)$$

Зададим произвольное $x_0$ и проведем преобразования, заменив $x$ на $(x-x_0)+x_0$. Получим

$$P_n(x)=b_0+b_1[(x-x_0)+x_0]+\ldots+b_n[(x-x_0)+x_0]^n. \eqno(7.7.2)$$

Собрав подобные члены при одинаковых степенях, находим

$$P_n(x)=\beta_0+\beta_1(x-x_0)+\ldots+\beta_n(x-x_0)^n.$$

Это есть разложение многочлена $P_n(x)$ по степеням разности $x-x_0$. Дифференцируя его по $x$, получим

$$P_n(x_0)=\beta_0,\quad P_n^{'}(x_0)=\beta_1,\quad P_n^{''}(x_0)=2\beta_2,\ \ldots\,,\$$

$$P_n^{(k)}(x_0)=k!\beta_k,\ \ldots\,,\ P_n^{(n)}(x_0)=n!\beta_n.$$

Итак, вычислены коэффициенты

             $$\beta_k=\frac{P_n^{(n)}(x_0)}{k!},\quad k=0,1,2,\ldots,n. \eqno(7.7.3)$$

Следовательно, многочлен $P_n$ можно представить в виде

$$\begin{eqnarray*} P_n(x)&=&P_n(x_0)+\frac{P_n^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{P_n^{''... ...0)^2+\ldots+ \\ &+&\frac{P_n^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n=Q_n(x). \end{eqnarray*}$$

Это есть формула Тейлора для многочлена $P_n$ в окрестности точки $x_0$. $Q_n$ -- многочлен Тейлора степени $n$ от функции $P_n$. Если степень многочлена Тейлора для $P_n(x)$ есть $k<n$, то

$$P_n(x)=Q_k(x)+R_{k+1}(x),\quad R_{k+1}(x)\neq0.$$

Пример 7.7.1. Разложим многочлен $P_2(x)=x^2+x+1$ по степеням $x-1$, т. е. в окрестности точки $x_0=1$:

$$P_2(x)=[(x-1)+1]^2+[(x-1)+1]+1=(x-1)^2+3(x-1)+3$$

или по-другому:

$$P_2(1)=3,\quad \left.P_2^{'}(1)=(2x+1)\right\vert _{x=1}=3,\quad P_2^{'}(1)=2.$$

Тогда многочлен Тейлора степени $2$ для $P_2(x)$ есть

$$\begin{eqnarray*} Q_2(x)&=& P_2(1)+\frac{P_2^{'}(1)}{1!}(x-1)+\frac{P_2^{''}(1)}{2!}(x-1)^2=\\ &=& 3+3(x-1)+(x-1)^2\equiv P_2(x). \end{eqnarray*}$$

Замечание 7.7.2. В этом примере

$$Q_0(x)=3,\quad R_1(x)=(x-1)^2+3(x-1),$$

$$Q_1(x)=3+3(x-1),\quad R_2(x)=(x-1)^2,$$

$$Q_2(x)=(x-1)^2+3(x-1)+3,\quad R_3(x)\equiv0.$$

Формула Тейлора для произвольной функции

Если у функции $f$ существует $f^{(n-1)}(x_0)$, но функция $f$ не есть многочлен, то для нее можно записать многочлен Тейлора

$$\begin{eqnarray*} Q_{n-1}(x)&=&f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{''}(... ...)^2+\ldots+\\ &+& \frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{(n-1)} \end{eqnarray*}$$

и остаточный член $R_n(x)=f(x)-Q_{n-1}(x)$, который, вообще говоря, не нуль.

Равенство

$$f(x)=Q_{n-1}(x)+R_n(x),\quad x\in O(x_0),$$

в некоторой окрестности точки $x_0$ называется формулой Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_0$; $Q_{n-1}(x)$ -- многочлен Тейлора степени $n-1$ функции $f$, $R_n(x)$ -- $n$-й остаточный член формулы Тейлора.

Теорема 7.7.1 (Тейлора). Пусть функция $f$ имеет $n$-ю производную в выколотой окрестности точки $x_0$ и в самой точке $x_0$ имеет непрерывную $(n-1)$-ю производную. Тогда справедлива формула Тейлора

                 $$f(x)=Q_{n-1}(x)+R_n(x),\quad x\in \check{O}(x_0), \eqno(7.7.4)$$

где ее $n$-й остаточный член $R_n(x)$ может быть записан в форме Лагранжа:

$$R_n^L(x)=\frac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(\xi),\quad \xi\in(x,x_0),$$

и в форме Коши:

$$R_n^K(x) = \frac{(x-x_0)^n(1-\theta)^{(n-1)}}{(n-1)!} f^{(n)}(x_0+\theta(x-x_0)\xi),\quad 0<\theta<1.$$

Доказательство проведем для $x>x_0.$ Фиксируем $x\in(x_0,b]$ (см. рис. 7.7.1).

Рис. 7.7.1

Запишем формулу Тейлора функции $f$:

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}... ...+\\ &+&\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{(n-1)}+ R_n(x), \end{eqnarray*}$$

в которой $R_n(x)$ -- остаточный член. Пусть $p$ -- произвольное натуральное число. Представим остаточный член в виде

$$R_n(x)=(x-x_0)^pH,$$

где $H$ - неизвестно. Ясно, что $H$ зависит от $f, x_0, x, n, p.$

Введем новую переменную $u\in[x_0,x]$ и рассмотрим функцию

$$\begin{eqnarray*} \Phi(u)&=&f(u)+\frac{f^{'}(u)}{1!}(x-u)+\frac{f^{''}(u)}{2!} ... ...ts+\\ &+&\frac{f^{(n-1)}(u)}{(n-1)!}(x-u)^{(n-1)}+ (x-u)^pH. \end{eqnarray*}$$

Функция $\Phi(u)$ обладает следующими свойствами:

1) $\Phi(u)$ определена и непрерывна на отрезке $[x_0,x]$, поскольку таковы функции $f(u), f^{'}(u),\ldots, f^{(n-1)}(u)$ на отрезке $[x_0,x]$;

2) $\Phi(u)$ имеет производную на интервале $(x,x_0)$, так как на нем имеет производную $n$-го порядка функция $f$;

$$\begin{eqnarray*} \ \ 3)&&\Phi(x_0)=f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^... ...\frac{f^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}(x-x_0)^{(n-1)}+ (x-x_0)^pH=f(x), \end{eqnarray*}$$

так как имеет место формула Тейлора для функции $f(x)$. Кроме того, $\Phi(x)=f(x)$.

Следовательно, функция $\Phi(u)$ удовлетворяет на отрезке $[x_0,x]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая промежуточная точка $\xi=x_0+\theta(x-x_0),\ 0<\theta<1$, между точками $x_0$ и $x$, что в ней $\Phi^{'}(\xi)=0$.

Выпишем производную $\Phi^{'}(u)$ после всех сокращений и упрощений

$$\Phi^{'}(u)=\frac{(x-u)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(u)-p(x-u)^{p-1}H.$$

Так как $\Phi^{'}(\xi)=0$, то получим уравнение

$$\frac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(\xi)-p(x-\xi)^{p-1}H=0.$$

Отсюда найдем

$$H=\frac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(\xi)\frac{1}{p(x-\xi)^{p-1}}.$$

Следовательно, с учетом того, что

$$x-\xi=x-\theta(x-x_0)=(x-x_0)(1-\theta),$$

остаточный член запишется в виде

$$R_n(x)=(x-x_0)^pH=(x-x_0)^p \frac{(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n)}(\xi) \frac{(1-\theta)^{n-p}}{p(x-\xi)^{p-1}}.$$

Получен остаточный член в общей форме

$$R_n(x)=\frac{(x-x_0)^n(1-\theta)^{n-p}}{p(n-1)!}f^{(n)}(x_0+\theta(x-x_0)). \eqno(7.7.5)$$

При $p=n$ получаем остаточный член в форме Лагранжа, а при $p=1$ -- остаточный член в форме Коши.

Замечание 7.7.1. 1. Формулу Тейлора можно записать в виде (7.7.4):

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& f(x_0)+\frac{1}{1!}df(x_0)+ \frac{1}{2!}d^2 f(x_0)+\ldots+\\ &+&\frac{1}{(n-1)!}d^{n-1} f(x_0)+R_n(x). \end{eqnarray*}$$

2. Формулу Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_0=0$

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&f(0)+\frac{f^{'}(0)}{1!}(x)+\frac{f^{''}(0)}{2!} (x)^2+\ldots+\\ &+&\frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}(x)^{(n-1)}+ R_n(x) \end{eqnarray*}$$

иногда называют формулой Тейлора - Маклорена функции $f$. Остаточные члены

$$\begin{eqnarray*} R_n^L(x)&=&\frac{(x)^n}{n!}f^{(n)}(\theta x),\quad 0<\theta<1... ...n(1-\theta)^{(n-1)}}{(n-1)!} f^{(n)}(\theta x),\ \ 0<\theta<1. \end{eqnarray*}$$

3. Пусть функция $f$ имеет в некоторой окрестности точки $x_0$ производную $n$-го порядка, непрерывную в точке $x_0$ (следовательно, производная $(n-1)$-го порядка непрерывна в окрестности точки $x_0$). Тогда справедлива формула Тейлора функции $f$ в окрестности точки $x_0$ с остаточным членом в форме Лагранжа:

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0... ...x-x_0)^{k}+\frac{(x-x_0)^n}{n!} \left[f^{(n)}(x_0)+O(1)\right]. \end{eqnarray*}$$

Таким образом,

$$\begin{eqnarray*} f(x)&=&f(x_0)+\frac{f^{'}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{''}(x_0)}... ...+\ldots+\\ &+&\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^{n}+o((x-x_0)^n), \end{eqnarray*}$$

$R_{n+1}^P(x)=o((x-x_0)^n)$ -- остаточный член в форме Пеано.

Формулы Тейлора основных элементарных функций

1. $f(x)=e^x$, $f^{(n)}(x)=e^x$, $f^{(n)}(0)=1$, $f^n(\theta x)=e^{\theta x}$.

Получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+ \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}e^{\theta x}$$

и в форме Пеано:

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+ \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$$

Пример 7.7.2. Вычислим число $e$ и оценим погрешность вычисления:

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots+ \frac{1}{(n-1)!}+R_n(1),$$

$$\vert R_n(1)\vert=\frac{1}{n!}e^\theta\leq\frac{e}{n!}\leq\frac{3}{n!}.$$

Замечание 7.7.2. С помощью формулы Тейлора можно вычислять довольно точно значения функций и оценивать величину ошибки, если остаточный член берется в форме Лагранжа. Используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, такую оценку сделать невозможно (из нее следует лишь, что $R_n(x)\to0$ при $x\to x_0$ и при фиксированном $n$).

2. $f(x)=\sin x,\ f^{'}(x)=\cos x,\ f^{''}(x)=-\sin x$ и т. д., $f^{(n)}(x)=\sin\left(x+n\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)$.

Следовательно, получим формулу Тейлора - Маклорена:

$$f(x)=\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \ldots+(-1)^n\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+R_{2n-1}(x),$$

$$R^P_{2n+1}(x)=o(x^{2n}),$$

$$\left\vert R^L_{2n+1}(x)\right\vert=\left\vert\frac{x^{2n+1... ...\right)\right\vert\leq\frac{\vert x\vert^{2n+1}}{(2n+1)!}\to0$$

для любых фиксированных $x$. Но особенно быстро остаточный член стремится к $0$ при $\vert x\vert<1$.

$$\begin{eqnarray*} \phantom{xxx} 3.\!\!\!\!\! && f(x)=\cos x=1-\displaystyle \fr... ...\ldots+\\ &&+\frac{m(m-1)\ldots(m-n+2)}{(n-1)!}x^{n-1}+R_n(x). \end{eqnarray*}$$

В частном случае

$$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} &=& 1-x+x^2-\ldots+(-1)^nx^n+o(x^n), \\ \frac{1}{1-x} &=& 1+x+x^2+\ldots+x^n+o(x^n). \end{eqnarray*}$$

Пример 7.7.3

$$\lim_{x\to0}\left[\frac{e^{\sin x}}{\arctg x+1+ \displayst... ...x^2}{2}}\right]^{\ctg x^3}= \left[\frac{0}{0}\right]^\infty.$$

Необходимо рассмотреть

$$\ln f(x)=(\ctg x^3)\ln\left(\frac{e^{\sin x}}{\arctg x+1+ \displaystyle \frac{x^2}{2}}\right).$$

Здесь понадобится формула Тейлора

$$\arctg x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^4),$$

$$\begin{eqnarray*} \ln f(x) &=& (\ctg x^3)\left(\sin x-\ln\left(1+\arctg x+\frac... ...=&(\ctg x^3)\left(\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\right) \to\frac{1}{3}. \end{eqnarray*}$$

Следовательно,

$$\lim_{x\to0}\left[\frac{e^{\sin x}}{\arctg x+1+ \displaystyle \frac{x^2}{2}}\right]^{\ctg x^3}=e^{\frac{1}{3}}.$$