Глава 8. Неопределенный интеграл

8.1. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства

8.2. Интегрирование заменой переменной

8.3. Интегрирование по частям

8.4. интегралы от рациональных функций

Глава 8

Неопределенный интеграл

8.1. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства

Функция $F$, определенная на конечном или бесконечном промежутке $E\in{\Bbb R}$, называется первообразной функцией, или первообразной, функции $f$ на промежутке $E$, если она дифференцируема на нем и имеет место равенство $F^{'}(x)=f(x)$ для каждого $x\in E$.

Пример 8.1.1. $f(x)=2x,\ \ E=(-\infty,+\infty)$. Первообразной для этой функции на $(-\infty,+\infty)$ будет, например, $F(x)=x^2$.

Теорема 8.1.1 Если $F$ -- какая-либо первообразная функции $f$ на промежутке $E$, то всякая функция вида

                  $$\Phi(x)=F(x)+C \eqno(8.1.1)$$

также является первообразной для функции $f$ на промежутке $E$, и всякая первообразная функции $f$ представима в таком виде.

Доказательство. Пусть $\Phi$ и $F$ -- две первообразные для функции $f$ на промежутке $E$, т. е. $\Phi^{'}(x)=f(x)$ и $F^{'}(x)=f(x),$ $x\in E$. Следовательно, $\left[\Phi(x)-F(x)\right]'=\Phi^{'}(x)-F^{'}(x)=0$ на промежутке $E$. Рассмотрим функцию $\varphi(x)=\Phi(x)-F(x)$.
Эта функция имеет производную, всюду равную нулю. Возьмем любые точки $x_1,\ x_2\in E$. Функция $\varphi$ удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке $[x_1,x_2]$ (непрерывна на $[x_1,x_2]$, дифференцируема на $(x_1,x_2)$). Следовательно, по этой теореме существует $\xi\in(x_1,x_2)$ такая, что $\varphi(x_1)-\varphi(x_2)=\varphi^{'}(x)(x_1-x_2)=0.$ Отсюда следует, что $\varphi(x)\equiv{\rm const}$ на $E$. Следовательно, $\Phi(x)=F(x)+C$. Итак, все первообразные для $f(x)=2x$ есть $\Phi(x)=x^2+C$.

Пусть функция $f$ имеет первообразную на некотором промежутке $E$. Неопределенным интегралом от функции $f$ на промежутке $E$ называется совокупность всех первообразных функций для $f$ на $E$, и он обозначается $$\int f(x)dx$$. Поэтому

$$\int f(x)dx=F(x)+C, \eqno(8.1.2)$$

где $F$ -- одна из первообразных для $f$ на $E$.

Свойства неопределенного интеграла

1. Если функция $F$ дифференцируема на промежутке $E$, то

$$\int F^{'}(x)dx=F(x)+C. \eqno(8.1.3)$$

2. Пусть для функции $f$ существует первообразная на промежутке $E$, тогда

$$d\int f(x)dx=f(x)dx. \eqno(8.1.4)$$

3. Если функции $f_1$ и $f_2$ имеют первообразные на промежутке $E$, то функция $\alpha f_1+\beta f_2$ тоже имеет первообразную на $E$, и имеет место равенство

$$\int\left[\alpha f_1(x)+\beta f_2(x)\right]dx= \alpha \int f_1(x)dx+\beta \int f_2(x)dx. \eqno(8.1.5)$$

Это равенство нужно понимать как совпадение двух семейств функций.

Доказательства этих свойств следуют из определений производной и неопределенного интеграла.

Таблица интегралов

Исходя из определения неопределенного интеграла, таблицы производных и правил дифференцирования, можно записать следующие равенства, верные на соответствующих промежутках:

$$\begin{eqnarray*} 1) && \displaystyle \int x^\alpha dx= \frac{x^{\alpha+1}}{\alp... ...^2\pm a^2}}=\ln\left\vert x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right\vert +C. \\ \end{eqnarray*}$$

8.2. Интегрирование заменой переменной

Теорема 8.2.1. Пусть функции $f(u)$ и $u=\varphi(x)$ определены на некоторых промежутках так, что имеет смысл сложная функция $f\left[\varphi(x)\right]$. Пусть функция $f$ имеет первообразную $F$, а функция $\varphi$ дифференцируема, тогда функция $f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x)$ имеет первообразную $\Phi(x)=F\left[\varphi(x)\right]$.

Доказательство. Функции $F$ и $f$ определены на одном промежутке, следовательно, имеет смысл сложная функция $F\left[\varphi(x)\right]$. По правилу вычисления производной сложной функции имеем

$$\frac{d}{dx}F\left[\varphi(x)\right] = \left.\frac{dF(x)}{du}\right\vert _{u=\varphi(x)} \frac{d\varphi(x)}{dx}=$$

$$= f(u) \Bigl\vert _{u=\varphi(x)}\varphi^{'}(x)=f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x).$$ (8.2.1)

Таким образом, функция $f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x)$ имеет в качестве одной из своих первообразных функцию $F\left[\varphi(x)\right]$.

Замечание 8.2.1. Формула (8.2.1) называется еще формулой интегрирования подстановкой, так как, учитывая, что

$$\Phi(x)+C=F\left[\varphi(x)\right]+C= F\left[u\right]\Bigg... ...t _{u=\varphi(x)}+C =\int f(u)du\Biggr\vert _{u=\varphi(x)},$$

$$\Phi(x)+C=\int f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x)dx,$$

ей можно придать следующий вид:

$$\int f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x)dx= \left.\int f(u)du\right\vert _{u=\varphi(x)}. \eqno(8.2.2)$$

Равенство (8.2.2) понимается так: для вычисления интеграла $$\int f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x)dx$$ сначала вычисляют $$\int f(u)du=F(u)+C$$, а затем подставляют вместо переменной $u$ функцию $u=\varphi(x)$.

Пример 8.2.1

$$\begin{eqnarray*} \int\frac{xdx}{x^2+a^2}&=&\left[\parbox{40mm}{$u=\varphi(x)=x... ... u\vert+C\right\vert _{u=x^2+a^2} = \frac{1}{2}\ln(x^2+a^2)+C. \end{eqnarray*}$$

Если существует обратная функция $x=\varphi^{-1}(u)$ к функции $u=\varphi(x)$, то, подставив в тождество (8.2.2) $x=\varphi^{-1}(u)$, формулу (8.2.2) можно записать в следующем виде:

$$\int f(u)du= \left.\int f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x)dx \right\vert _{x=\varphi^{-1}(u)}. \eqno(8.2.3)$$

Таким образом, вычисление интеграла $$\int f(u)du$$ с помощью замены переменной $u$ на переменную $x:\ u=\varphi(x)$ сводится к вычислению интеграла $$\int f\left[\varphi(x)\right]\varphi^{'}(x)dx$$ и подстановке затем вместо переменной $x$ функции $x=\varphi^{-1}(u)$.

Пример 8.2.2

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int \sqrt{1-u^2}du = \left[\parbox{35mm}{$u = \varp... ...}=\\ [5pt] &=&\frac{1}{2}\arcsin u+\frac{1}{2}u\sqrt{1-u^2}+C. \end{eqnarray*}$$

8.3. Интегрирование по частям

Теорема 8.3.1. Если функции $u$ и $v$ дифференцируемы на некотором промежутке $E$ и существует первообразная для $u^{'}v$ на $E$, то существует первообразная для $uv^{'}$ на $E$ и имеет место формула

$$\int u(x)v^{'}(x)dx=uv-\int u^{'}(x)v(x)dx. \eqno(8.3.1)$$

Доказательство. $\left(u(x)v(x)\right)^{'}=u(x)v^{'}(x)+u^{'}(x)v(x)$. Следовательно, $u(x)v^{'}(x)=(u(x)v(x))^{'}-u^{'}(x)v(x)$. Первообразная правой части этого равенства существует на $E$, поэтому существует первообразная на $E$ и для левой части $u(x)v^{'}(x)$.

Формула интегрирования по частям (8.3.1) следует из равенства

$$\begin{eqnarray*} \int u(x)v^{'}(x)dx &=& \int\left[(u(x)v(x))^{'}-u^{'}(x)v(x)... ...(x)+C-\int u^{'}(x)v(x)dx=\\ &=& u(x)v(x)-\int u^{'}(x)v(x)dx. \end{eqnarray*}$$

Замечание 8.3.1. Учитывая равенства $du=u^{'}(x)dx,\linebreak dv=v^{'}(x)dx$, формулу интегрирования по частям (8.3.1) можно записать в таком виде:

$$\int udv=uv-\int vdu. \eqno(8.3.2)$$

Пример 8.3.1

$$\begin{eqnarray*} \int x\sin xdx =\left[\parbox{3cm}{$u(x)=x$\\ $dv(x)=\sin xdx... ...cos x$}\right]&=&-x\cos x+\int\cos xdx=\\ &=&-x\cos x+\sin x+C. \end{eqnarray*}$$

Пример 8.3.2

$$\begin{eqnarray*} \int\arcsin xdx&=&\left[\parbox{3cm}{$u(x)=\arcsin x$\\ $dv(x... ...sqrt u}\right\vert _{u=1-x^2}=\\ &=&x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C. \end{eqnarray*}$$

Пример 8.3.3

$$\int xd\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)=\frac{x}{x^2+a^2}-\int\frac{dx}{x^2+a^2} =$$

$$=\frac{x}{x^2+a^2}-\frac{1}{a}\arctg \frac{x}{a}+C.$$

8.4. Интегралы от рациональных функций

Если рациональная дробь с действительными коэффициентами

$$\frac{P_n(x)}{Q_{k+2m}(x)},\ \ Q_{k+2m}(x)=(x-a)^k(x^2+2px+q)^m$$

правильная, т.е. $n<k+2m$, то ее можно единственным образом представить в виде суммы простых дробей:

$$\frac{P_n(x)}{Q_{k+2m}(x)}=\frac{a_1}{(x-a)}+\frac{a_2}{(x-a)^2}+\ldots +\frac{a_k}{(x-a)^k}+$$

$$+\frac{b_1x+c_1}{x^2+2px+q}+\frac{b_2x+c_2}{(x^2+2px+q)^2}+\ldots +\frac{b_mx+c_m}{(x^2+2px+q)^m}. \eqno(8.4.1)$$

Обсудим интегралы от простых дробей:

$$\begin{eqnarray*} 1) && \int\frac{dx}{(x-a)^k}=\frac{1}{(1-k)}(x-a)^{-k+1}+C, ... ...}=\left. \int\frac{(u-p)du}{u^2+q-p^2}\right\vert _{u=x+p},\\ \end{eqnarray*}$$

что далее сводится к табличному интегралу и интегралу типа 3;

$$\begin{eqnarray*} 5) && \int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{1}{a^2}\int\frac{x^2... ...2a^2} \left(\frac{x}{x^2+a^2}- \int\frac{dx}{x^2+a^2}\right). \end{eqnarray*}$$

Итого,

$$\int\frac{dx}{(x^2+a^2)^2}=\frac{1}{2a^2}\int\frac{dx}{x^2+a^2}+ \frac{1}{2a^2}\frac{x}{x^2+a^2}.$$

Такой метод спуска можно провести с любого натурального $m\ge 2$ для интегралов от простых дробей (8.4.1). Итак, неопределенный интеграл от рациональной функции всегда "берется" в элементарных функциях.

Пример 8.4.1. Пусть $0<\varepsilon<1$

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\int\frac{dx}{1+\varepsilon\cos x} = \int\frac{dx}{... ...on}} {\sqrt{1+\varepsilon}}u\right\vert _{u=\tg \frac{x}{2}}+C. \end{eqnarray*}$$