Глава 9. Определенный интеграл

9.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

9.2. Интеграл Римана

9.3. Суммы Дарбу и их свойства

9.4. Верхний и нижний интегралы Дарбу

9.5. Критерий интегрируемости функции

9.6. Классы интегрируемых функций

9.7. Простейшие свойства интеграла

9.8. Теоремы о среднем для интеграла

9.9. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

9.10. Методы вычисления определенного интеграла

9.11. Приложения определенного интеграла

9.12. Приближенное вычисление интегралов

Глава 9

Определенный интеграл

9.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

А) Задача определения площади криволинейной трапеции
$D=\{0\le x\le b;\ 0\le y\le f(x)\}$.

Криволинейная трапеция D разбивается на полосы шириной $\Delta x_k=x_{k+1}-x_{k},\ k=0,\ldots\,, n-1$. Площади полосок приближенно равны (см. рис. 9.1.1)

$$f(\xi_{k})\Delta x_{k},\ \ \ k=0,\ldots, n-1.$$

Рис. 9.1.1

Отсюда площадь $S$ криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей полосок:

$$S\approx f(\xi_0)\Delta x_0+f(\xi_1)\Delta x_1+ \ldots+f(\xi_{n-1})\Delta x_{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k.$$

Если существует предел этой суммы при стремлении к нулю ширины полосок, то его и нужно принять за площадь фигуры. Этот предел, если он существует, обозначают

$$S=\int\limits_a^bf(x)dx=\lim\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k.$$

Б) Задача определения пути, пройденного материальной точкой.

Пусть $v(t)$ -- скорость точки в момент времени $t\in[T_1,T_2]$. Требуется найти путь, пройденный точкой за время от $T_1$ до $T_2$. Если скорость непостоянна, разобьем отрезок $[T_1,T_2]$ на малые промежутки времени. Считаем, что на них скорость точки $v(t)$ меняется мало. Пройденный путь тогда приближенно равен

$$S\approx v(\xi_0)\Delta t_0+v(\xi_1)\Delta t_1+\ldots+v(\xi_{n-1})\Delta t_{n-1}= \sum_{k=0}^{n-1}v(\xi_k)\Delta t_k.$$

Здесь $v(\xi_k)\Delta t_k$ -- путь, пройденный точкой за промежуток времени $[t_{k},t_{k+1}]$ с постоянной скоростью $v(\xi_k)$. Если и здесь промежутки времени стремятся к нулю, то предел этой суммы нужно принять за величину пути, пройденного материальной точкой за время $[T_1,T_2]$. Если этот предел существует, он обозначается

$$\int\limits_{T_1}^{T_2}{v(t)dt}=\lim\sum_{k=0}^{n-1}v(\xi_k)\Delta t_k.$$

9.2. Интеграл Римана

Для строгого определения предельного перехода, описанного выше, т. е. определенного интеграла, нам понадобятся следующие понятия:

- разбиение отрезка $[a,b]$ -- это конечное, упорядоченное по возрастанию множество точек $T=\{a=x_0,x_1,\ldots, x_n=b\}$.
Очевидно, множество $T_0=\{a,b\}$ будет самым простейшим разбиением отрезка$[a,b]$;

- ${\Bbb T}$ -- множество всех разбиений $T$ отрезка $[a,b]$;

- $\lambda(T)=\max\limits_{0\leq k\leq n-1}\Delta x_k= \max(x_{k+1}-x_k)$ -- мелкость разбиения $T$;

- интегральная сумма функции $f$, отвечающая разбиению $T$ и выбору точек $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}], \ \ k=0,\ldots,n-1,$ есть следующая сумма:

$$\sigma(f,T)=\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k.$$

Функция $f$ называется интегрируемой на отрезке $[a,b]$, если существует число $I\in {\Bbb R}$ такое, что для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta(\varepsilon )>0$ такое, что для любого разбиения $T\in{\Bbb T}$ отрезка $[a,b]$ с мелкостью $\lambda(T)<\delta(\varepsilon )$ и для любого выбора точек $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}], \ \ k=0,\ldots,n-1,$ выполняется

$$\left\vert\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k-I\right\vert<\varepsilon .$$

Число $I$ называется определенным интегралом, или интегралом Римана, функции $f$ на отрезке $[a,b]$, и интеграл обозначается

$$I=\int\limits_{a}^{b}f(x)dx.$$

Ясно, что постоянная функция $f(x)\equiv c$ интегрируема на любом отрезке $[a,b]$, так как для любого разбиения $T\in{\Bbb T}$

$$\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi)\Delta x_k=c\sum_{k=0}^{n-1}\Delta x_k=c(b-a)= c\int\limits_a^bdx=I.$$

Продемонстрировать определение интеграла на примере какой-либо более сложно устроенной функции довольно трудно. Однако справедлива теорема, из которой следует, что заведомо неинтегрируемыми функциями являются неограниченные функции.

Теорема 9.2.1 (необходимое условие интегрируемости). Если $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция $f$ неограничена на отрезке $[a,b]$, но интегрируема на нем. Тогда, согласно определению интегрируемости, с одной стороны,

$$I-\varepsilon <\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k<I+\varepsilon \eqno(9.2.1)$$

для какого-то разбиения $T\in{\Bbb T}$ при заданном $\varepsilon >0$ и любом выборе $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]$. С другой стороны (см. рис. 9.2.1), найдется отрезок разбиения $[x_k,x_{k+1}]$, на котором функция $f$ неограничена и, следовательно, слагаемое $f(\xi_k)\Delta x_k$, а поэтому и вся сумма $\sum f(\xi_k)\Delta x_k$, выбором точки $\xi_k$ могут быть сделаны сколь угодно большими.

Рис. 9.2.1

Ограниченность функции есть лишь необходимое условие ее интегрируемости. Достаточно рассмотреть в качестве примера функцию Дирихле

$$D(x)=\cases{ 1, &$x$ --- рациональное,\cr 0, &$x$ --- иррациональное.\cr }$$

Очевидно, что эта функция ограничена на любом отрезке числовой прямой, но неинтегрируема на нем, так как при любом разбиении этого отрезка при выборе точек $\xi_k,\ k=0,\ldots,n-1,$ рациональными числами интегральная сумма равна длине отрезка, а при выборе иррациональными -- равна нулю.

В дальнейшем предполагается, что рассматриваются ограниченные функции.

9.3. Суммы Дарбу и их свойства

Введение в рассмотрение сумм Дарбу позволяет существенно упростить проверку интегрируемости функции. Пусть задано произвольное разбиение $T$ отрезка $[a,b]$ и

$$M=\sup_{x\in[a,b]}f(x), \ \ m=\inf_{x\in[a,b]}f(x),$$

$$M_k=\sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x),\ \ m_k=\inf_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x).$$

Верхняя сумма Дарбу есть

$$S(T)=\sum_{k=0}^{n-1}M_k\Delta x_k.$$

Нижняя сумма Дарбу есть

$$s(T)=\sum_{k=0}^{n-1}m_k\Delta x_k.$$

На рис. 9.3.1 заштрихована светлой штриховкой фигура, площадь которой численно равна $s(T)$.

Свойства сумм Дарбу

1. Справедливы следующие соотношения:

$$S(T)=\sup\left\{\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k: \ \xi_k\in[x_k,x_{k+1}], 0\le k\le n-1\right\},$$

$$s(T)=\inf\left\{\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k: \ \xi_k\in[x_k,x_{k+1}], 0\le k\le n-1\right\},$$

$$s(T)\le\sigma(f,T)\le S(T).$$

Рис. 9.3.1

2. Если все точки разбиения $T$ отрезка $[a,b]$ входят в число точек разбиения $T^{'}$ того же отрезка $[a,b]$, то говорят, что разбиение $T^{'}$ является измельчением разбиения $T$, и пишут: $T\subset T^{'}$. Если $T\subset T^{'}$, то

$$S(T^{'})\leq S(T), \ \ \ s(T)\leq s(T^{'}).$$

Таким образом, при добавлении к разбиению $T$ дополнительных точек разбиения верхняя сумма Дарбу может только лишь уменьшиться, а нижняя сумма Дарбу -- только лишь увеличиться.

Из рис. 9.3.2 видно, что при добавлении точки $x^{'}$ в число точек разбиения $T$ верхняя сумма Дарбу уменьшится на величину площади незаштрихованного прямоугольника.

Рис. 9.3.2

3. Для любых разбиений $T_1$ и $T_2$ отрезка $[a,b]$

$$m(b-a)=s(T_0)\leq s(T_1)\leq S(T_2)=S(T_0)\leq M(b-a).$$

Таким образом, множества чисел $s(T_1)$ и $S(T_2)$ при любых $T_1$ и $T_2$ расположены так, как показано на рис. 9.4.1.

9.4. Верхний и нижний интегралы Дарбу

В силу свойства 3 сумм Дарбу все нижние суммы Дарбу ограничены сверху любой из верхних сумм Дарбу, а все верхние суммы Дарбу ограничены снизу любой из нижних сумм. Поэтому у этих множеств существуют конечные, соответственно верхние и нижние, точные границы, и имеют место следующие неравенства (см. рис. 9.4.1):

$$s(T)\leq I_*=\sup_{\Bbb T}s(T)\leq S(T),$$

$$s(T)\leq I^*=\inf_{\Bbb T}S(T)\leq S(T). \eqno(9.4.1)$$

Здесь

$$I_*=\sup_{\Bbb T}s(T)\parbox{5cm} {{\em \ --- нижний интеграл Дарбу,}}$$

$$I^*=\inf_{\Bbb T}S(T)\parbox{5cm} {{\em \ --- верхний интеграл Дарбу.}}$$

Переходя в неравенстве (9.4.1) к точной верхней границе по $T\in{\Bbb T}$, имеем

$$I_*=\sup_{\Bbb T}s(T)\leq\inf_{\Bbb T}S(T)=I^*. \eqno(9.4.2)$$

Рис. 9.4.1

Итак,

$$s(T)\leq I_*\leq I^*\leq S(T).$$

Вообще говоря, $I_*\not=I^*$.

Пример 9.4.1. Для функции Дирихле $f(x)=D(x)$ на отрезке $[a,b]$ интеграл не существует и $I_*=0\not=1=I^*$.

Теорема 9.4.1 (Дарбу). Пусть функция $f$ ограничена на отрезке $[a,b]$. Тогда для любого $\varepsilon >0$ найдется такое $\delta(\varepsilon )>0$, что для любого разбиения $T$ отрезка $[a,b]$ с мелкостью разбиения $\lambda(T)<\delta(\varepsilon )$ выполняется

$$I_*-\varepsilon <s(T)\leq S(T)<I^*+\varepsilon . \eqno(9.4.3)$$

Доказательство. Пусть $\varepsilon >0$ произвольно и

$$M=\sup_{x\in[a,b]}f(x)>\inf_{x\in[a,b]}f(x)=m$$

(при $M = m$ утверждение очевидно, так как $s(T) = S(T) = I_* = I^*=M(b-a)$).

Из определения $I_*$ и точной верхней границы множества следует, что существует такое разбиение $T_1\in {\Bbb T}$, при котором

$$I_*-\varepsilon /2<s(T_1).$$

Пусть $p$ -- количество точек разбиения $T_1$ внутри интервала $(a,b)$. Зададим число $\delta_1(\varepsilon )=\varepsilon /{2p(M-m)}>0$ и возьмем любое разбиение $T=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ отрезка $[a,b]$, мелкость которого $\lambda(T)<\delta_1(\varepsilon )$. Построим разбиение $T^{'}=T\cup T_1$. По второму свойству сумм Дарбу, так как $T_1\subset T^{'}$,

$$I_*-\varepsilon /2<s(T_1)\leq s(T^{'}).$$

Предположим, что точка $x^{'}$ из разбиения $T_1$ попала внутрь отрезка $[x_k,x_{k+1}]$ разбиения $T_1$. Тогда (см. рис. 9.4.2) имеют место следующие неравенства:

$$\begin{eqnarray*} \lefteqn{\inf_{x\in[x_k,x^{'}]}f(x)(x^{'}-x_k)+\inf_{x\in[x^{'... ... &\leq&\inf_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x)\Delta x_k+(M-m)\lambda(T). \end{eqnarray*}$$

Рис. 9.4.2

Поэтому

$$s(T^{'})\leq s(T)+p(M-m)\lambda(T)< \left[\parbox{2cm}{по выбору $\lambda(T)$}\right]<$$

$$<S(T)+p(M-m)\delta_1(\varepsilon )=s(T)+\varepsilon /2.$$

Окончательно имеем

$$I_*-\varepsilon /2<s(T)+\varepsilon /2,$$

т. е. $I_*-\varepsilon <s(T)$ для любого разбиения $T$ мелкостью меньше $\delta_1(\varepsilon )$. Аналогично для данного $\varepsilon >0$ найдется $\delta_2(\varepsilon )>0$ такое, что для всех разбиений $T$ мелкостью меньше $\delta_2(T)$ выполняется $S(T)<I^*+\varepsilon$. Выбирая теперь $\delta(\varepsilon )=\min(\delta_1(\varepsilon ),\delta_2(\varepsilon ))$, получим требуемое: для любого $T$ с мелкостью $\lambda(T)<\delta(\varepsilon )$ выполняется

$$I_*-\varepsilon <s(T)\leq S(T)<I^*+\varepsilon .$$

Замечание 9.4.1

$$\lim_{\lambda(T)\to 0} s(T)=I_*,\quad \lim_{\lambda(T)\to 0} S(T)=I^*.$$

9.5. Критерий интегрируемости функции

Полезным для дальнейшего является понятие колебания функции $f$ на отрезке $[\alpha,\beta]$:

$$\omega(f,[\alpha,\beta])= \sup_{x\in[\alpha,\beta]}f(x)-\inf_{x\in[\alpha,\beta]}f(x)=M-m.$$

В частности,

$$\omega(f,[x_k,x_{k+1}])=\omega_k(f)=M_k-m_k.$$

Следовательно,

$$S(T)-s(T)=\sum_{k=o}^{n-1}\omega_k(f)\Delta x_k.$$

Сформулируем необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке $[a,b]$.

Теорема 9.5.1 (критерий Римана). Для того чтобы ограниченная функция $f$ была интегрируемой на отрезке $[a,b]$, необходимо и достаточно, чтобы для любого $\varepsilon >0$ нашлось такое разбиение $T$ отрезка $[a,b]$, при котором $S(T)-s(T)<\varepsilon$ $($или $\sum\omega_k(f)\Delta x_k<\varepsilon ).$

Замечание 9.5.1. Из этого условия следует, что интегрируемость функции $f$ равносильна тому, что для любого $\varepsilon >0$ найдется разбиение отрезка $[a,b]$, при котором график функции $f$ можно поместить в "змейку'', составленную из прямоугольников общей площади меньше $\varepsilon$ (см. рис. 9.3.1).

Доказательство. Необходимость. Из определения интегрируемости функции $f$ на $[a,b]$ следует, что для любого $\varepsilon >0$ найдется $\delta>0$ такое, что для всех разбиений $T\in{\Bbb T}$, мелкость которых $\lambda(T)<\delta$, и для всех $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}], \ \ k=0,\ldots,n-1,$ выполняется условие

$$I-\varepsilon /3<\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k<I+\varepsilon /3.$$

Переходя к $\ \sup$ и $\inf$ в этих неравенствах по $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]$, $k=0,\ldots,n-1,$ и воспользовавшись свойством 1 сумм Дарбу, получим

$$I-\varepsilon /3\leq s(T)\leq\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k \leq S(T)<I+\varepsilon /3.$$

Отсюда

$$S(T)-s(T)\leq I+\varepsilon /3-(I-\varepsilon /3)=2\varepsilon /3<\varepsilon .$$

Достаточность. Пусть $\varepsilon >0$ произвольно и $T\in{\Bbb T}$ -- такое разбиение отрезка $[a,b]$, при котором $S(T)-s(T)<\varepsilon$. По свойствам $s(T),\ S(T),\ I_*,\ I^*$ имеем (см. рис. 9.4.1)

$$s(T)\leq I_*\leq I^*\leq S(T).$$

Отсюда, по условию теоремы,

$$I^*-I_*\leq S(T)-s(T)<\varepsilon .$$

Следовательно, ввиду произвольности $\varepsilon >0$, имеем

$$I_*=I^*=I.$$

Докажем теперь, что функция $f$ интегрируема на $[a,b]$ и интеграл от нее равен числу $I$. Возьмем произвольное
$\varepsilon >0$, тогда по лемме Дарбу существует $\delta(\varepsilon )>0$ такое, что для любого разбиения $T\in{\Bbb T}$ отрезка $[a,b]$ мелкостью $\lambda(T)<\delta(\varepsilon )$ выполняется

$$I-\varepsilon <s(T)\leq S(T)<I+\varepsilon . \eqno(9.5.1)$$

В силу того, что для любого $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}], \ \ k=0,\ldots,n-1,$

$$s(T)\leq\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k\leq S(T),$$

из неравенства (9.5.1) имеем

$$I-\varepsilon <\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k<I+\varepsilon .$$

9.6. Классы интегрируемых функций

Убедимся, что интегрируемых функций достаточно много.

Теорема 9.6.1 Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. В силу теоремы Кантора функция $f$ равномерно непрерывна на $[a,b]$. Возьмем произвольное $\varepsilon >0$, тогда из равномерной непрерывности функции $f$ на $[a,b]$ следует, что для любых $x^{'},x^{''}\in[a,b]$, удовлетворяющих условию $\vert x^{'}-x^{''}\vert<\delta$, выполняется $\vert f(x^{'})-f(x^{''})\vert<\varepsilon /(b-a)$.

Если взять разбиение $T$ такое, что $\lambda(T)<\delta$, то ввиду того, что

$$\omega\left(f(x),[x_k,x_{k+1}]\right)=\omega_k(f)<\frac{\varepsilon }{(b-a)},$$

имеем

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k(f)\Delta x_k\leq \frac{\varepsilon }{(b-a)}\sum_{k=0}^{n-1}\Delta x_k=\varepsilon .$$

Следовательно, по критерию интегрируемости (теорема 9.5.1) функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$.

Интегрируемы не только непрерывные функции, как показывает

Теорема 9.6.2. Ограниченная на отрезке $[a,b]$ функция $f$, имеющая на $[a,b]$ конечное число точек разрыва, интегрируема на $[a,b]$.

Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать, что у функции $f$ на отрезке $[a,b]$ лишь одна точка разрыва и этой точкой является $a$ (см. рис. 9.6.1). Докажем, что для этой функции выполняется критерий интегрируемости Римана. Возьмем любое $\varepsilon >0$, выберем точку $x_1\in(a,b]$ такую, чтобы

$$\Delta x_0=x_1-a<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2(M-m)}}. \eqno(9.6.1)$$

Рис. 9.6.1

На отрезке $[x_1,b]$ функция $f$ интегрируема как непрерывная, следовательно, по критерию интегрируемости, по заданному $\varepsilon >0$ найдется разбиение $T=\{x_1,x_2,\ldots,x_n=b\}$ отрезка $[x_1,b]$, при котором

$$\sum_{k=1}^{n-1}\omega_k(f)\Delta x_k<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}. \eqno(9.6.2)$$

Если теперь рассмотреть разбиение $T=\!\{a=x_0,x_1,\ldots,x_n=b\}$
отрезка $[a,b]$, то в силу (9.6.1) и (9.6.2)

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k\Delta x_k=(M_0-m_0)\Delta x_0+ \s... ...frac{\varepsilon }{2}}+\displaystyle{\frac{\varepsilon }{2}}.$$

Следовательно, по критерию интегрируемости, функция $f$ интегрируема на $[a,b]$.

Теорема 9.6.3. Если функция $f$ монотонна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Пусть функция $f$ монотонно возрастает на $[a,b]$ и $f(x)\not\equiv {\rm const}$. Возьмем любое $\varepsilon >0$ и разбиение $T$ отрезка $[a,b]$, от которого потребуем, чтобы его мелкость $\lambda(T)<\displaystyle{\frac{\varepsilon }{f(b)-f(a)}}$. Из монотонности $f$ следует, что

$$\omega_k=\omega(f,[x_k,x_{k+1}])=f(x_{k+1})-f(x_k)>0.$$

Следовательно,

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k\Delta x_k\leq\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k= \lambda(T)(f(b)-f(a))<\varepsilon .$$

Отсюда, по критерию интегрируемости, функция $f$ интегрируема на $[a,b]$.

Пример 9.6.1. Функция, график которой представлен на рис. 9.6.2, имеет бесконечное число точек разрыва, но интегрируема на отрезке $[0,1]$, так как она на нем монотонна.

Рис. 9.6.2

Можно пойти еще дальше (соответствующую теорию впервые построил А.Лебег), расширяя класс интегрируемых функций на $[a,b]$. Но для этого потребуется информация о множестве точек разрыва функции $f$ не по их количеству, а по "площади'', которую они занимают.

Говорят, что множество $E$ на числовой прямой имеет лебегову меру нуль, если для любого $\varepsilon >0$ существуют интервалы $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\ldots,(a_n,b_n),\ldots$ такие, что они покрывают множество $E$, т. е. $E\subset\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}(a_k,b_k)$, и их суммарная длина мала, а точнее, что $\sum\limits_{k=1}^{n}(b_k-a_k)<\varepsilon$ для любого $n$.

Теорема 9.6.4 (Лебега). Для того чтобы функция $f$ была интегрируема на отрезке $[a,b]$, необходимо и достаточно, чтобы функция $f$ была ограничена на отрезке $[a,b]$ и непрерывна всюду на отрезке $[a,b]$ за исключением множества точек лебеговой меры нуль.

9.7. Простейшие свойства интеграла

1. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$. Тогда она интегрируема на любом отрезке $[a_1,b_1]\subset[a,b]$.

2. Пусть $a<c<b$. Тогда, если функция $f$ интегрируема на отрезках $[a,c]$ и $[c,b]$, она интегрируема на отрезке $[a,b]$ и имеет место равенство

$$\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx.$$

3. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $[a,b]$. Тогда их сумма $f(x)+g(x)$ также интегрируема на отрезке $[a,b]$ и имеет место равенство

$$\int\limits_a^b(f(x)+g(x))dx=\int\limits_a^bf(x)dx+\int\limits_a^bg(x)dx.$$

4. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, а
$C$ -- константа. Тогда функция $Cf(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ и имеет место равенство

$$\int\limits_a^bCf(x)dx=C\int\limits_a^bf(x)dx.$$

5. Пусть функции $f$ и $g$ определены на отрезке $[a,b]$, причем функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, а функция $g$ отличается от функции $f$ в конечном числе точек. Тогда функция $g$ тоже интегрируема на отрезке $[a,b]$ и имеет место равенство

$$\int\limits_a^bg(x)dx=\int\limits_a^bf(x)dx.$$

6. Если функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $[a,b]$, то их произведение $fg$ тоже интегрируемо на отрезке $[a,b]$.

7. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ и $f\geq0$. Тогда

$$\int\limits_a^bf(x)dx\geq0.$$

8. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$. Тогда функция $\vert f\vert$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ и имеет место неравенство

$$\left\vert\int\limits_a^bf(x)dx\right\vert\leq\int\limits_a^b\vert f(x)\vert dx.$$

Докажем некоторые из перечисленных свойств.

1. Пусть задано произвольное $\varepsilon >0$. В силу критерия интегрируемости функции $f$ на отрезке $[a,b]$ существует разбиение $T$, при котором $S(T)-s(T)<\varepsilon$. Пусть $T^{'}$ -- разбиение отрезка $[a,b]$, полученное из разбиения $T$ добавлением точек $a_1,\ b_1$, т. е. $T^{'}=T\bigcup\{a_1,b_1\}\supset T$. Пусть теперь $T_1$ -- разбиение отрезка $[a_1,b_1]$, образованное точками разбиения $T^{'}$, принадлежащими отрезку $[a_1,b_1]\subset[a,b]$. Тогда

$$S(T_1)-s(T_1)=\sum_{T_1}\omega_k\Delta x_k\leq\sum_{T^{'}}\omega_k\Delta x_k= S(T^{'})-s(T^{'}).$$

Поскольку $T\subset T^{'},$ то по свойствам сумм Дарбу

$$s(T)\leq s(T^{'})\leq S(T^{'})\leq S(T)$$

и, следовательно,

$$S(T^{'})-s(T^{'})\leq S(T)-s(T),$$

т. е.

$$\sum_{T_1}\omega_k\Delta x_k\leq S(T^{'})-s(T^{'})<S(T)-s(T)<\varepsilon .$$

Итак, нашлось разбиение $T_1$ отрезка $[a_1,b_1]$, при котором

$$\sum_{T_1}\omega_k\Delta x_k=S(T_1)-s(T_1)<\varepsilon .$$

Следовательно, функция $f$ интегрируема на отрезке $[a_1,b_1]$ по критерию интегрируемости (теорема 9.5.1).

5. Рассмотрим функцию

$$u(x)=g(x)-f(x),$$

$u(x)\hskip-1mm=\hskip-1mm0$ на отрезке $[a,b]$, за исключением конечного числа точек $\tilde x_1,\tilde x_2,\ldots,\tilde x_p$. Возьмем любое $\varepsilon \hskip-1mm>\hskip-1mm0$, а $\delta=\varepsilon /2pM$. Пусть $M=\max\{\vert u(x_1)\vert,\ldots,\vert u(x_p)\vert\}$ и $T$ -- разбиение отрезка $[a,b]$ настолько мелкое, что каждая из точек $\tilde x_1,\tilde x_2,\ldots,\tilde x_p$ принадлежит не более чем двум отрезкам разбиения $T$ (либо она лежит внутри -- тогда одному отрезку, либо на границе -- тогда двум отрезкам) и $\lambda(T)<\delta$. Тогда для функции $u(x)$ имеем

$$S(T)-s(T)=\sum_{k=0}^{n-1}\hskip-1mm\omega_k(u)\Delta x_k\h... ...elta x_k \leq2pM\lambda(T)\hskip-1mm<\hskip-1mm\varepsilon .$$

Отсюда, по критерию интегрируемости, функция $u(x)$, а следовательно, и функция $g(x)=f(x)+u(x)$ интегрируемы на отрезке $[a,b]$. Из неравенств

$$\left\vert\sum_{k=0}^{n-1}u(\xi_k)\Delta x_k\right\vert\leq... ..._k)\vert\Delta x_k\leq 2pM\lambda(\varepsilon )<\varepsilon$$

cледует

$$\int\limits_a^bu(x)dx=0=\int\limits_a^bg(x)dx-\int\limits_a^bf(x)dx,$$

и поэтому

$$\int\limits_a^bg(x)dx=\int\limits_a^bf(x)dx.$$

Замечание 9.7.1. Если у интегрируемой функции $f$ на отрезке $[a,b]$ изменить значения в конечном числе точек, то она останется интегрируемой, и величина интеграла не изменится.

6. Поскольку функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $[a,b]$, то они ограничены на нем. Следовательно, существует $M>0$ такое, что для всех $x\in[a,b]:\ \vert f(x)\vert\leq M$ и
$\vert g(x)\vert\leq M$. Тогда в силу критерия интегрируемости для любого $\varepsilon >0$ найдутся разбиения $T_1$ и $T_2$, при которых

$$S_f(T_1)-s_f(T_1)<\frac{\varepsilon }{2M},\ \ S_g(T_1)-s_g(T_1)<\frac{\varepsilon }{2M}.$$

Возьмем разбиение $T=T_1\cup T_2$. Поскольку разбиение $T$ отрезка $[a,b]$ является измельчением разбиений $T_1$ и $T_2$, по свойствам сумм Дарбу для функций $f$ и $g$ имеет место

$$s(T_1)\leq s(T)\leq S(T)\leq S(T_1).$$

Отсюда

$$S(T)-s(T)\leq S(T_1)-s(T_1).$$

Поэтому

$$S_f(T_1)-s_f(T_1)\leq S_f(T_1)-s_f(T_1)<\frac{\varepsilon }{2M},$$

$$S_f(T_1)-s_f(T_1)\leq S_f(T_1)-s_f(T_1)<\frac{\varepsilon }{2M}.$$

Итак,

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k(f)\Delta x_k<\frac{\varepsilon }{2M},$$

где $\omega_k(f)$ -- колебание функции на $[x_k,x_{k+1}],$

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k(g)\Delta x_k<\frac{\varepsilon }{2M},$$

где $\omega_k(g)$ -- колебание функции на $[x_k,x_{k+1}].$

Докажем теперь, что для колебания $\omega_k(fg)$ функции $f(x)g(x)$ на отрезке $[x_k,x_{k+1}]$ имеет место неравенство

$$\omega_k(fg)\leq M\left(\omega_k(f)+\omega_k(g)\right).$$

Возьмем любые $\xi,\eta\in[x_k,x_{k+1}]$, тогда

$$f(\xi)g(\xi)-f(\eta)g(\eta)=f(\xi)g(\xi)-f(\xi)g(\eta)+ f(\xi)g(\eta)-f(\eta)g(\eta)=$$

$$=f(\xi)\left[g(\xi)-g(\eta)\right]+g(\eta)\left[f(\xi)-f(\eta)\right].$$

Поэтому

$$\left\vert f(\xi)g(\xi)-f(\eta)g(\eta)\right\vert\leq M\vert f(\xi)-f(\eta)\vert+M\vert g(\xi)-g(\eta)\vert.$$

Следовательно, по свойству 4 сумм Дарбу и свойству точных границ

$$\omega_k(fg)=\sup_{\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]}f(\xi_k)g(\xi_k)- \inf_{\eta_k\in[x_k,x_{k+1}]}f(\eta_k)g(\eta_k)=$$

$$=\sup_{\xi_k,\eta_k\in[x_k,x_{k+1}]}\left[f(\xi_k)g(\xi_k)- f(\eta_k)g(\eta_k)\right]=$$

$$=\sup_{\xi_k,\eta_k\in[x_k,x_{k+1}]}\left\vert f(\xi_k)g(\xi_k)- f(\eta_k)g(\eta_k)\right\vert\leq$$

$$\le M\!\left[\sup_{\xi_k,\eta_k\in[x_k,x_{k+1}]}\!\left\vert... ...k,x_{k+1}]}\!\left\vert g(\xi_k)-g(\eta_k)\right\vert\right]=$$

$$=\left[\parbox{2cm}{\ снова~по\\ \ свойству 4}\right]= M\l... ...1}]}f(\xi_k)- \inf_{\eta_k\in[x_k,x_{k+1}]}f(\eta_k)\right]+$$

$$+M\left[\sup_{\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]}g(\xi_k)- \inf_{\eta_k... ...1}]}g(\eta_k)\right]= M\left(\omega_k(f)+\omega_k(g)\right).$$

Поэтому, по построению разбиения $T=T_1\cup T_2$, имеем

$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k(fg)\Delta x_k\leq \sum_{k=0}^{n-1}\left(M\omega_k(f)+m\omega_k(g)\right)\Delta x_k=$$

$$=M\left(\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k(f)\Delta x_k+ \sum_{k=0}^... ...varepsilon }{2M}+\frac{\varepsilon }{2M}\right)=\varepsilon .$$

Следовательно, по критерию интегрируемости, произведение функций $f(x)g(x)$ интегрируемо на отрезке $[a,b]$.

Замечание 9.7.2. Вообще говоря, интеграл от произведения функций не равен произведению интегралов, т. е.

$$\int\limits_{a}^{b}f(x)g(x)dx\not= \int\limits_{a}^{b}f(x)dx\int\limits_{a}^{b}g(x)dx.$$

9.8. Теоремы о среднем для интеграла

Теорема 9.8.1. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $[a,b]$, $m\leq f(x)\leq M$ на $[a,b]$, $g(x)\geq0$ на $[a,b]$. Тогда

$$m\int\limits_a^bg(x)dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx \leq M\int\limits_a^bg(x)dx.$$

Доказательство. По свойству 6 интеграла функция $fg$ интегрируема на отрезке $[a,b]$. Умножая неравенство
$m\leq f(x)\leq M$ на $g(x)\geq0$, получим

$$mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x).$$

Интегрируя его по отрезку $[a,b]$, используя свойства интеграла, получим требуемое неравенство.

Следствие 9.8.1. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ и $m\leq f(x)\leq M$ на $[a,b]$. Тогда

$$m(b-a)\leq\int\limits_a^bf(x)dx\leq M(b-a).$$

Доказательство. В теореме 9.8.1 нужно взять $g(x)\equiv1$.

Теорема 9.8.2. Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, функция $g(x)\geq0$ интегрируема на отрезке $[a,b]$. Тогда существует $\xi\in[a,b]$ такое, что выполняется

$$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int\limits_a^bg(x)dx.$$

Доказательство. Так как функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то у нее существуют $m=\min\limits_{[a,b]}f(x), \ M=\max\limits_{[a,b]}f(x)$ (см. рис. 9.8.1). В силу предыдущей теоремы имеют место неравенства

$$m\int\limits_a^bg(x)dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx \leq M\int\limits_a^bg(x)dx.$$

Рис. 9.8.1

Если интеграл $$\int\limits_a^bg(x)dx=0$$, то за $\xi$ можно взять любую точку из отрезка $[a,b]$ и

$$0=\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int\limits_a^bg(x)dx=0.$$

Если $$\int\limits_a^bg(x)dx>0$$, то

$$\min_{[a,b]}f(x)=m\leq\displaystyle{\frac{\displaystyle \in... ...\displaystyle \int\limits_a^bg(x)dx}}\leq M=\max_{[a,b]}f(x).$$

Таким образом,

$$C=\displaystyle{\frac{\displaystyle \int\limits_a^bf(x)g(x)dx} {\displaystyle \int\limits_a^bg(x)dx}}\in[m,M].$$

В силу теоремы Коши о промежуточных значениях существует $\xi\in[a,b]$ такое, что $f(\xi)=C$. Отсюда получаем требуемое равенство.

Следствие 9.8.2. Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. Тогда существует $\xi\in[a,b]$ такое, что

$$\int\limits_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a).$$

Доказательство. В предыдущей теореме нужно положить $g(x)\equiv1$.

9.9. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования

Пусть функция $f$ интегрируема на $[a,b]$. Функция

$$F(x)=\int\limits_a^xf(t)dt,\quad x\in[a,b],$$

называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема 9.9.1. Пусть функция $f(t)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$. Тогда интеграл с переменным верхним пределом интегрирования $F(x)$ непрерывен на отрезке $[a,b]$.

Доказательство. Так как функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, то она ограничена на нем, т. е. существует число $M>0$ такое, что для всех $t\in[a,b]:\ \vert f(t)\vert\leq M$. Пусть
$x_0$ -- любая точка из $[a,b]$ и $\varepsilon >0$ -- произвольное. Используя свойства интеграла, получим

$$F(x)-F(x_0)=\int\limits_a^xf(t)dt-\int\limits_a^{x_0}f(t)dt= \int\limits_{x_0}^{x}f(t)dt.$$

Следовательно,

$$\vert F(x)-F(x_0)\vert=\left\vert\int\limits_{x_0}^xf(t)dt\... ...s_{x_0}^x\vert f(t)\vert dt\right\vert\leq M\vert x-x_0\vert.$$

Итак, для заданного $\varepsilon >0$ число $\delta=\varepsilon /M>0$ таково, что для всех $x$ со свойством $\vert x-x_0\vert<\delta$

$$F(x)-F(x_0)\leq M\vert x-x_0\vert\leq M\varepsilon /M=\varepsilon ,$$

т. е. функция $F(x)$ непрерывна в точке $x_0$.

Теорема 9.9.2. Если функция $f$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ и непрерывна в точке $x_0\in[a,b]$, то функция $F$ дифференцируема в точке $x_0$ и $F^{'}(x_0)=f(x_0)$.

Доказательство. Ввиду непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta>0$ такое, что для всех $t\in[a,b],\ \vert t-x_0\vert<\delta$ выполняется $\vert f(t)-f(x_0)\vert<\varepsilon$. Тогда для любого $x,\ 0<\vert x-x_0\vert<\delta,$ выполняется

$$\displaystyle{\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}}-f(x_0)= \displays... ...frac{\displaystyle \int\limits_{x_0}^xf(t)dt}{x-x_0}}-f(x_0)=$$

$$=\displaystyle{\frac{\displaystyle \int\limits_{x_0}^xf(t)d... ...~к.\quad $x-x_0=\displaystyle \int\limits_{x_0}^xdt$}\right]=$$

$$=\displaystyle{\frac{\displaystyle \int\limits_{x_0}^x[f(t)-f(x_0)]dt}{x-x_0}}.$$

Итак,

$$\left\vert\displaystyle{\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}}-f(x_0)\r... ...)- f(x_0)\right\vert dt\right\vert} {\vert x-x_0\vert}}\leq$$

$$\leq\displaystyle{\frac{\varepsilon \left\vert\displaystyle... ...varepsilon \vert x-x_0\vert}{\vert x-x_0\vert}}=\varepsilon ,$$

что, по определению, означает дифференцируемость функции $F(x)$ в точке $x_0\in[a,b]$.

Пример 9.9.1. $f(x)=[x]$ -- целая часть числа $x,\ 0\leq x\leq2,$

$$F(x)=\int\limits_0^xf(t)dt= \cases{ 0,\ \ \ \ \ \ 0\leq x\leq1,\cr x-1,\ 1\leq x\leq2.\cr }$$

Теорема 9.9.3 (существование первообразной). Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$. Тогда функция

$$F(x)=\int\limits_a^xf(t)dt$$

является первообразной для функции $f$ на отрезеке $[a,b]$.

Доказательство. Из теоремы 9.9.2 следует, что

$$\left(\int\limits_a^xf(t)dt\right)'=f(x),$$

а это, по определению, означает, что $F(x)$ является первообразной функцией для $f(x)$ на отрезке $[a,b]$.

Теорема 9.9.4 (Ньютона - Лейбница). Если функция $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $\Phi$ есть ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула

$$\int\limits_a^bf(x)dx=\Phi(b)-\Phi(a).$$

Таким образом, для вычисления определенного интеграла по отрезку $[a,b]$ от непрерывной функции $f$ следует вычислить значения произвольной ее первообразной $\Phi$ в точках $b$ и $a$ и вычесть из первого значения второе.

Доказательство. Из теоремы 9.9.3 следует, что функция $F(x)=\displaystyle \int\limits_a^xf(t)dt$ есть первообразная для функции $f$ на отрезке $[a,b]$. Следовательно, любая другая ее первообразная $\Phi(x)$ имеет вид

$$\Phi(x)=F(x)+C=\int\limits_a^xf(t)dt+C,$$

поэтому

$$\Phi(a)=\int\limits_a^af(t)dt+C=C,$$

$$\Phi(b)=\int\limits_a^bf(t)dt+C=\int\limits_a^bf(t)dt+\Phi(a).$$

Отсюда следует требуемое равенство.

Полученная формула называется основной формулой интегрального исчисления, которую часто записывают в виде

$$\int\limits_a^bf(t)dt=F(x)\Bigl\vert_a^b,$$

где введено обозначение

$$F(x)\Bigl\vert_a^b=F(b)-F(a).$$

Эту теорему можно переформулировать следующим образом.

Теорема 9.9.5. Если функция $F(x)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$, то

$$F(b)-F(a)=\int\limits_a^bF^{'}(x)dx.$$

Для доказательства достаточно применить теорему Ньютона - Лейбница к функции $f(x)=F^{'}(x)$.

9.10. Методы вычисления определенного
интеграла

Теорема 9.10.1. Для непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $u(x),\ v(x)$ имеет место формула интегрирования по частям

$$\int\limits_a^bu(x)v^{'}(x)dx=u(x)v(x)\Bigl\vert_a^b -\int\limits_a^bu^{'}(x)v(x)dx.$$

Доказательство. Функция $u(x)v(x)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$. По теореме 9.9.5 имеем

$$u(x)v(x)\Bigl\vert _a^b=u(b)v(b)-u(a)v(a)= \int\limits_a^b[u(x)v(x)]^{'}dx.$$

Но по правилу дифференцирования произведения

$$[u(x)v(x)]'=u(x)^{'}v(x)+u(x)v(x)^{'}.$$

Следовательно, слагаемые непрерывны и по аддитивному свойству определенного интеграла получаем

$$\int\limits_a^b[u(x)v(x)]^{'}dx= \int\limits_a^bu(x)^{'}v(x)dx+\int\limits_a^bu(x)v(x)^{'}dx.$$

Отсюда следует требуемое равенство.

Последнюю формулу удобно записывать в виде

$$\int\limits_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x) \Bigl\vert _a^b-\int\limits_a^bv(x)du(x).$$

Пример 9.10.1. Вычислим интеграл $$\int\limits_0^\pi x^2\cos xdx$$.

$$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^\pi x^2\cos xdx\!\!\! &=& \!\!\!\int\limits_0^\... ...\int\limits_0^\pi\cos xdx=-2\pi-2\sin x\Bigl\vert _0^\pi=-2\pi. \end{eqnarray*}$$

Теорема 9.10.2. Если функция $x=\varphi(t)$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[c,d],\ \varphi(c)=a,\ \varphi(d)=b$, при лю-
бом $t\in[c,d]$ значения функции $\varphi(t)$ лежат на отрезке $[A,B]\supset[a,b]$, и функция $f$ непрерывна на отрезке $[A,B]$, тогда имеет место формула $($замены переменной$)$:

$$\int\limits_c^df[\varphi(t)]\varphi^{'}(t)dt= \int\limits_{\varphi(c)}^{\varphi(d)}f(x)dx.$$

Доказательство (см. рис. 9.10.1). По теореме 8.2.1 о замене переменной в неопределенном интеграле функции $f(x)$ и $f[\varphi(t)]\varphi^{'}(t)$ имеют непрерывно дифференцируемые первообразные $F(x)$ и $\Phi(t)$, связанные между собой так:
$\Phi(t)=F(\varphi(t))+C$ для всех $t\in[c,d]$. По теореме Ньютона - Лейбница имеем

$$\begin{eqnarray*} \int\limits_a^bf(x)dx&=&\int\limits_{\varphi(c)}^{\varphi(d)}... ..._c^d\Phi^{'}(t)dt=\int\limits_c^df[\varphi(t)]\varphi^{'}(t)dt. \end{eqnarray*}$$

Рис. 9.10.1

Пример 9.10.2

$$\int\limits_0^1\sqrt{1+x^2}dx= \left[\parbox{35mm}{$x=\var... ...right] =\displaystyle \int\limits_0^{\ln(1+\sqrt2)}\ch^2tdt=$$

$$=\frac{1}{2}\int\limits_0^{\ln(1+\sqrt2)}\frac{1+\ch 2t}{2}dt= \frac{1}{4}\ln(1+\sqrt2) +\frac{1}{8}\sh 2\ln(1+\sqrt2).$$

9.11. Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей

Площадью криволинейной трапеции (см. рис. 9.11.1)

$$G={(x,y):\ a\leq x\leq b,\ \ f_1(x)\leq y\leq f_2(x)},$$

где функции $f_1(x), f_2(x)$ непрерывны на отрезке $[a,b]$, является число

$$S=\int\limits_a^b[f_2(x)-f_1(x)]dx.$$

Пример 9.11.1. $G=\left\{(x,y):\ 0\leq x\leq1,0\leq y\leq x^2\right\}$,

$$S=\int\limits_0^1x^2dx=\left.\frac{x^3}{3}\right\vert _0^1=\frac{1}{3}.$$

Еще Архимед, не зная формул Ньютона - Лейбница, умел вычислять площади такого рода фигур (см. рис. 9.11.2):

$$S=\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n-1} \left(\frac{k}{... ...{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\left(1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2\right)=$$

$$=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}=\frac{1}{3}.$$

Рис. 9.11.1                                                                           Рис. 9.11.2

Точку на плоскости можно задать в декартовых координатах $A(x,y)$ и в полярных координатах $A(r,\varphi)$ (см. рис. 9.11.3): $(\varphi,r)$ -- полярные координаты на плоскости, $\varphi$ -- полярный угол, $r$ -- полярный радиус.

Пусть $G$ -- криволинейный сектор (см. рис. 9.11.4),

$$G=\left\{(\varphi,r):\ \alpha\leq\varphi\leq\beta\right\},\quad 0\leq r\leq r(\varphi).$$

Функция $r=r(\varphi)$ непрерывна на отрезке $[\alpha,\beta]$.

Определим площадь фигуры $G$. Пусть $T$ -- разбиение отрезка $[\alpha,\beta]:\ T=\{\varphi_0,\varphi_1,\ldots,\varphi_n\}, \ \ \xi_k\in[\varphi_k,\varphi_{k+1}]$.

Рис. 9.11.3                                                                        Рис. 9.11.4

Рассмотрим фигуру

$$G_k=\left\{(\varphi,r):\ \varphi_k\leq\varphi\leq\varphi_{k+1},\ 0\leq r\leq r(\xi_k)\right\}.$$

Площадь этого сектора равна $S_k=\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\xi_k)\Delta\varphi_k$. Ввиду непрерывности функции $r(\varphi)$ существует

$$\frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r^2(\varphi)d\varphi= ... ...a(T)\to0}\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}r^2(\xi_k)\Delta\varphi_k$$

как предел интегральной суммы. Поэтому по определению площадь криволинейного сектора равна

$$S_G=\frac{1}{2}\int\limits_\alpha^\beta r^2(\varphi)d\varphi.$$

Пример 9.11.2. Улитка Архимеда $r(\varphi)=\varphi, \ 0\leq\varphi\leq\pi/2$ (см. рис. 9.11.5). Найдем площадь этой фигуры:

$$S=\frac{1}{2}\int\limits_0^\pi\varphi^2d\varphi= \left.\fr... ...2}\cdot\frac{\varphi^3}{3}\right\vert _0^\pi=\frac{\pi^3}{6}.$$

Фигуру на плоскости будем называть квадрируемой, если ее можно разбить на конечное число криволинейных трапеций (см. рис. 9.11.6),

$$G=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_n,$$

и тогда площадь фигуры есть сумма площадей этих трапеций.

Рис. 9.11.5                                                            Рис. 9.11.6

Кривые на плоскости и их длины

У нас имеется интуитивное представление о кривой. Если функция $y=f(x)$ непрерывна, то ее график -- это кривая. Уточним это понятие.

Говорят, что плоская кривая $\gamma$ задана явно, если она является графиком непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a,b]$, и записывают:

$$\gamma:\ y=f(x),\ \ a\leq x\leq b.$$

Пример 9.11.3. $\gamma_1:\ y=x^2,\ 0\leq x\leq1$; $\gamma_2:\ y=\sqrt{1-x^2},$ $-1\leq x\leq1$.

Говорят, что плоская кривая $\gamma$ задана параметрически (см. рис. 9.11.7), если задана пара непрерывных функций параметра $t\in[\alpha,\beta]$, и это записывают следующим образом:

$$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&x(t),\\ y&=&y(t),\ \ \ t\in[\alpha,\beta].\\ \end{array} \right. \eqno(9.11.1)$$

Система функций (9.11.1) называется параметризацией кривой $\gamma$.

Замечание 9.11.1. Кривую $\gamma$ (9.11.1) можно задать другой парой функций:

$$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\tilde x(\tau),\\ y&=&\til... ...\tau\in[\gamma,\delta],\\ \end{array} \right. \eqno(9.11.2)$$

если функции $\tilde x(\tau)$ и $\tilde y(\tau)$ непрерывны на отрезке $[\gamma,\delta]$ и

$$\left\{\begin{array}{rcl} \tilde x(\tau)&=&x(\varphi(\tau)... ...\tau\in[\gamma,\delta].\\ \end{array} \right. \eqno(9.11.3)$$

Функция $t=\varphi(\tau)$, возрастающая и непрерывная на отрезке $[\gamma,\delta]$, где $\alpha=\varphi(\gamma),\ \beta=\varphi(\delta)$, называется заменой параметра.

Для всякой кривой существует бесконечно много параметризаций (параметрических представлений), получающихся с помощью замены параметра из какой-то одной параметризации.

Порядок на кривой $\gamma$ наводится естественным порядком на отрезке $[\alpha,\beta]$.

Кривую $\gamma$ называют ориентируемой, если одна из концевых точек объявляется началом кривой. Причем кривая ориентирована в положительном направлении относительно выбранной параметризации, если точка $\left(x(\alpha),y(\alpha)\right)$ -- начальная точка кривой. Заметим, что в этом случае возрастанию параметра $t$ отвечает выбранное направление вдоль кривой $\gamma$.

Кривую $\gamma:\ y=f(x),a\leq x\leq b$, заданную явно, можно тоже представить в параметрическом виде:

$$\gamma: \left\{\begin{array}{rcl} x&=&t,\\ y&=&f(t),\ \ \ a\leq t\leq b.\\ \end{array} \right.$$

Длина кривой

Кривая $\gamma$, заданная параметрически, называется гладкой, если функции $x^{'}(t),y^{'}(t)$ непрерывны и $\left[x^{'}(t)\right]^2\hskip-1mm+ \hskip-1mm\left[y^{'}(t)\right]^2\hskip-1mm\not=\hskip-1mm0$ на отрезке $[\alpha,\beta]$. Отсюда следует, что если функция $f$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$, то соответствующая кривая $\gamma:\ y=f(x),\ a\leq x\leq b,$ будет гладкой.

Пусть кривая $\gamma:\ y=f(x),\ a\leq x\leq b,$ -- гладкая. Возьмем разбиение $T$ отрезка $[a,b]$ и построим ломаную. Длина звена ломаной есть (см. рис. 9.11.8)

$$\left\vert L_k\right\vert=\sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}=... ...rt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k=$$

$$=\left[\parbox{6cm}{по формуле Лагранжа\\ $\Delta y_k=f(x... ..._k$}\right]= \sqrt{1+\left[f^{'}(\xi_k)\right]^2}\Delta x_k.$$

Следовательно, длина всей ломаной есть

$$\left\vert L(T)\right\vert= \sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1+\left[f^{'}(\xi_k)\right]^2}\Delta x_k. \eqno(9.11.4)$$

Рис. 9.11.7                                                                   Рис. 9.11.8

Так как функция $\sqrt{1+\left[f^{'}(x)\right]^2}$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то существует предел длин ломаных в (9.11.4), и он равен соответствующему интегралу. Итак, естественно назвать длиной кривой $\gamma:\ y=f(x),\ a\leq x\leq b,$ число

$$\vert\gamma\vert=\int\limits_a^b\sqrt{1+\left[f^{'}(x)\right]^2}dx. \eqno(9.11.5)$$

Длина кривой, заданной параметрически

Пусть задана гладкая кривая

$$\gamma:\ \left\{\begin{array}{rcl} x&=&x(t),\\ y&=&y(t),\ \ \ \alpha\leq t\leq \beta,\\ \end{array} \right.$$

причем эта пара функций задает параметрически функцию
$y=f(x)$ на отрезке $[a,b],\ a=x(\alpha),\ b=x(\beta)$, таким образом, что $x^{'}(t)>0$ на $[\alpha,\beta]$. Тогда наша кривая $\gamma$ есть график функции $y=f(x),\ a\le x\le b$. Длина ее есть

$$\vert\gamma\vert=\int\limits_a^b\sqrt{1+\left[f^{'}(x)\right]^2}dx.$$

Произведем в этом интеграле замену переменного $x=x(t),$ $x^{'}(t)>0.$ Существует $t=t(x),\ t^{'}(x)=1/x^{'}(t)>0$. Тогда все условия теоремы о замене переменного в определенном интеграле выполнены. Следовательно,

$$\int\limits_a^b\sqrt{1+\left[f^{'}(x)\right]^2}dx= \int\li... ...rt{1+ \left[\frac{y^{'}(t)}{x^{'}(t)}\right]^2}\,x^{'}(t)dt=$$

$$=\left[\parbox{15mm}{$x^{'}(t)>0$}\right]= \int\limits_\al... ...ta\sqrt{\left[x^{'}(t)\right]^2+ \left[y^{'}(t)\right]^2}dt.$$

Поэтому естественно такое определение длины кривой $\gamma$, заданной параметрически:

$$\vert\gamma\vert= \int\limits_\alpha^\beta\sqrt{\left[x^{'}(t)\right]^2+ \left[y^{'}(t)\right]^2}dt. \eqno(9.11.6)$$

Объем и площадь поверхности тел вращения

Пусть тело $H$ образовано вращением вокруг оси $Ox$ криволинейной трапеции

$$G=\left\{(x,y):\ a\leq x\leq b,\ 0\leq y\leq f(x)\right\},$$

где функция $f$ непрерывна. Пусть выбрано некоторое разбиение $T=\{x_0,\ldots,x_n\}$ отрезка $[a,b]$ и точки $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}]$.

Объем цилиндра $\Delta v_k$, соответствующего отрезку разбиения $[x_k,x_{k+1}],$ есть $\Delta v_k=\pi f^2(x)\Delta x_k$, и объем всех цилиндров равен

$$\sum_T\Delta v_k=\pi\sum_{k=0}^{n-1}f^2(\xi_k)\Delta x_k.$$

Это есть интегральная сумма интеграла

$$\pi\int\limits_a^bf^2(x)dx,$$

который существует, так как функция $f^2(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$.

Следовательно, естественно считать объем тела вращения вокруг оси $Ox$ как

$$V_H=\pi\int\limits_a^bf^2(x)dx. \eqno(9.11.7)$$

Пример 9.11.4. Вычислим объем прямого конуса высотой $H$ и радиусом основания $R.$

$$V=\pi\int\limits_0^H\left(\frac{Rx}{H}\right)^2dx= \frac{\pi R^2}{H^2}H^3=\frac{\pi R^2H}{3}.$$

Пример 9.11.5. Вычислим объем шара радиуса $R, \linebreak f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$,

$$V=\pi\int\limits_{-R}^R(r^2-x^2)dx= \pi\left.\left[R^2x-\frac{x^3}{3}\right]\right\vert _{-R}^R=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Пусть теперь функция $f$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$. Боковая поверхность тела $H$ образована вращением графика функции $f$ вокруг оси $Ox$. Площадь усеченного конуса, соответствующего отрезку разбиения $[x_k,x_{k+1}]$,

$$\Delta S_k=2\pi\frac{f(x_k)+f(x_2)}{2} \sqrt{1+\left[f^{'}(\xi_k)\right]^2}\Delta x_k.$$

И в этом случае естественно вычислять площадь боковой поверхности тела вращения (см. рис. 9.11.9) как

$$S_H=2\pi\int\limits_a^bf(x)\sqrt{1+\left[f^{'}(x)\right]^2}dx. \eqno(9.11.8)$$

Рис. 9.11.9

Пример 9.11.6. Вычислим площадь поверхности шара радиуса $R$

$$S=2\pi\int\limits_{-R}^R(R^2-x^2)^{\frac{1}{2}} \sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}dx= 2\pi R\int\limits_{-R}^Rdx=4\pi R^2.$$

9.12. Приближенное вычисление интегралов

Формула прямоугольников

Искомая площадь криволинейной трапеции заменяется площадью ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников (см. рис. 9.12.1)

Рис. 9.12.1

$$\int\limits_a^bf(x)dx\approx\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k= \sigma(f,T,\xi).$$

Какова погрешность этой формулы? Если функция сильно осциллирует, то погрешность большая.

Теорема 9.12.1. Если функция $f$ непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$ и $M=\max\vert f^{'}(x)\vert$ на отрезке $[a,b]$, то

$$\left\vert\int\limits_a^bf(x)dx-\sigma(f,T,\xi)\right\vert= \vert R_n\vert\leq M(b-a)^2\frac{1}{n},$$

где разбиение отрезка $[a,b]$ производится на $n$ равных отрезков.

Доказательство. Рассмотрим разность

$$\int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx-f(\xi_k)(x_{k+1}-x_k)= \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}\left[f(x)-f(\xi_k)\right]dx=$$

$$=\left[\parbox{5,5cm}{по формуле Лагранжа\\ $f(x)-f(\xi_k... ...ht]= \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f^{'}(\eta_k(x))(x-\xi_k)dx.$$

Следовательно,

$$\begin{eqnarray*} \vert R_n\vert &\leq& \sum_{k=0}^{n-1}\left\vert \int\limits_... ...eq&\sum_{k=1}^{n-1}M\frac{b-a}{n}\Delta x_k=M\frac{(b-a)^2}{n}. \end{eqnarray*}$$

Теорема 9.12.2. Пусть функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$, $M=\max\vert f^{''}(x)\vert$ на отрезке $[a,b]$. Тогда если $\xi_k=\displaystyle \frac{x_{k+1}+x_k}{2}$, то

$$\vert R_n\vert\leq\frac{M}{24}(b-a)^3\frac{1}{n^2}.$$

Доказательство. Погрешность будет иметь вид

$$\vert R_n\vert=\left\vert \int\limits_a^bf(x)dx- \sum_{k=0... ...}f\left(\frac{x_k+x_{k+1}}{2}\right)(x_{k+1}-x_k)\right\vert.$$

Рассмотрим $k$-е слагаемое этой погрешности

$$\int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx-f\left(\frac{x_k+x_{k+1}}... ..._k= \int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}\left[f(x)-f(\xi_k)\right]dx.$$

По формуле Тейлора для функции $f(x)$ относительно точки $\xi_k=(x_k+x_{k+1})/2$ имеем

$$f(x)=f(\xi_k)+f^{'}(\xi_k)(x-\xi_k)+\frac{1}{2}f^{''}(\eta_k)(x-\xi_k)^2;$$

$k$-е слагаемое тогда принимает вид

$$\int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}\left[f(\xi_k)+f^{'}(\xi_k)(x-\xi_k)+ \frac{1}{2}f^{''}(\eta_k)(x-\xi_k)^2-f(\xi_k)\right]dx=$$

$$=\frac{1}{2}\int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}f^{''}(\xi_k)(x-\xi_k)^2dx.$$

Поэтому, так как

$$\int\limits_{x_k}^{x_{k+1}}(x-\xi_k)^2dx= \left.\frac{(x-\... ...vert _{x_k}^{x_{k+1}}= \frac{\left[\Delta x_k\right]^3}{12},$$

имеем следующую оценку погрешности:

$$\begin{eqnarray*} \vert R_n\vert&\leq&\sum_{k=0}^{n-1}\left\vert \int\limits_{... ...frac{M}{24}n^2\sum_{k=0}^{n-1}\Delta x_k=\frac{M(b-a)^3}{24n^2}. \end{eqnarray*}$$

Следующий простой пример показывает, что оценку погрешности на данном классе функций улучшить нельзя.

Пример 9.12.1. Легко найти точное значение интеграла.

$$\int\limits_0^1x^2dx=\left.\frac{x^3}{3}\right\vert _0^1=\frac{1}{3}.$$

Подсчитаем погрешность, зная точный результат,

$$\begin{eqnarray*} \vert R_n\vert&=&\left\vert\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\sum_{k=0}^... ...t\frac{1}{3}-\frac{1}{12n^3}(4n^3-n)\right\vert=\frac{1}{12n^2}, \end{eqnarray*}$$

а оценка погрешности, учитывая $M=\max(x^2)^{''}=2$ на отрезке $[0,1]$,

$$\vert R_n\vert\leq\frac{2}{24}\cdot\frac{1}{n^2}=\frac{1}{12 n^2}.$$

Эти рассуждения показывают, что улучшить оценку погрешности в этом случае нельзя.

Приведем еще формулы приближенного вычисления интегралов.

Формула трапеций

Заменив график функции вписанной в него ломаной с вершинами в узлах $(x_k,f(x_k))$, получим фигуру, состоящую из ряда трапеций (см. рис. 9.12.2), и приближенную формулу

$$\int\limits_a^bf(x)dx\approx\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f(x_k)+f(x_{k+1})}{2} \Delta x_k.$$

Рис. 9.12.2

Теорема 9.12.3. Пусть функция $f$ дважды непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$, $M=\max\vert f^{''}(x)\vert$ на отрезке $[a,b]$. Тогда

$$\vert R_n\vert\leq\frac{M}{12}(b-a)^3\frac{1}{n^2}.$$

Формула Симпсона

Заменив график функции вписанными в него параболами с вершинами в узлах $(x_k,f(x_k))$, см. рис 9.12.3, получим приближенную формулу

$$\int\limits_a^bf(x)dx\approx\frac{b-a}{6n} \left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\right.$$

$$\left.+\ldots+2f(x_{2n-2})+ 4f(x_{2n-1})+f(x_{2n})\right].$$

Рис. 9.12.3

Теорема 9.12.4. Пусть функция $f$ четырежды непрерывно дифференцируема на отрезке $[a,b]$, $M=\max\vert f^{(IV)}(x)\vert$ на отрезке $[a,b]$. Тогда

$$\vert R_n\vert\leq\frac{M}{90}\left(\frac{b-a}{2}\right)^5\frac{1}{n^4}.$$