Импликацией высказываний $A$ и $B$ называется высказывание, обозначаемое $A\Rightarrow B$ (читается: "из $A$ следует $B$" или "если $A$, то $B$''), которое ложно, если $A$ истинно, а $B$ ложно, и истинно в остальных случаях (см. таблицу):

$A$ $B$ $A\Rightarrow B$
и и и
и л л
л и и
л л и

Функция $f$ называется интегрируемой на отрезке $[a,b]$, если существует число $I\in {\Bbb R}$ такое, что для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta(\varepsilon )>0$ такое, что для любого разбиения $T\in{\Bbb T}$ отрезка $[a,b]$ с мелкостью $\lambda(T)<\delta(\varepsilon )$ и для любого выбора точек $\xi_k\in[x_k,x_{k+1}], \ \ k=0,\ldots,n-1,$ выполняется

\begin{displaymath} \left\vert\sum_{k=0}^{n-1}f(\xi_k)\Delta x_k-I\right\vert<\varepsilon . \end{displaymath}

Интегралы Дарбу:


\begin{displaymath} I_*=\sup_{\Bbb T}s(T)\parbox{5cm} {{\em \ --- нижний интеграл Дарбу,}} \end{displaymath}


\begin{displaymath} I^*=\inf_{\Bbb T}S(T)\parbox{5cm} {{\em \ --- верхний интеграл Дарбу.}} \end{displaymath}

Функция

\begin{displaymath} F(x)=\int\limits_a^xf(t)dt,\quad x\in[a,b], \end{displaymath}

называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.