Последовательность $\left\{x_n\right\}$ назовем последовательностью Коши или фундаментальной, если

\begin{displaymath} \forall\ \varepsilon > 0\quad \exists\ N(\varepsilon )\quad ... ...repsilon ):\quad \vert x_n-x_m\vert<\varepsilon \eqno(4.4.1) \end{displaymath}.


Соответствие $f$ между элементами множеств $X$ и $Y$ называется функцией, если любому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие единственный элемент $y\in Y$ (это записывается следующим образом: $f:\ X\to Y$ или $y=f(x)$).

Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0$, если существует предел функции $f$ при $x\to x_0$, и он равен ее значению в точке $x_0$, т. е. 

                    \begin{displaymath}
\lim_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)=f\left(\lim_{x\to x_0}x\right).
\eqno(6.1.1)
\end{displaymath}


Функция $f$ называется непрерывной в точке $x = x_0 \in (a,b)$ по Коши, если она определена в $(a,b)$ и для любого $\varepsilon >0$ существует $\delta>0$ такое, что для всех $x\in(a,b)$ и $\vert x-x_0\vert<\delta$ выполняется неравенство $\vert f(x)-f(x_0)\vert<\varepsilon $.

Функция $f$ называется непрерывной в точке $x = x_0 \in (a,b)$ по Гейне, если она определена в $(a,b)$ и для любой последовательности $\{x_n\}\subset(a,b)$ такой, что $x_n\to x_0$, выполняется $f(x_n)\to f(x_0)$.

Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, если она непрерывна во всех точках интервала $x_0\in (a,b)$ и непрерывна справа в точке $a$ и слева в точке $b$.

Функция $f$ равномерно непрерывна на промежутке $X$, если

\begin{displaymath} \forall\ \varepsilon > 0\ \exists\ \delta(\varepsilon ) > 0\... ...n X\ \forall\ x^{''} \in X,\ \vert x^{''}-x^{'}\vert < \delta: \end{displaymath}


\begin{displaymath} \vert f(x^{''})-f(x^{'})\vert < \varepsilon . \end{displaymath}


Функция $f(x)$ называется строго возрастающей на множестве $X$, если для всех $x_1$ и $x_2\in X$ $(x_1 < x_2): \ f(x_1)<f(x_2)$. Аналогично определяется строго убывающая функция. Строго убывающие и строго возрастающие функции называются строго монотонными.