Точной верхней границей множества $E\subset{\Bbb R}$ называется число $\mu\in{\Bbb R}$ такое, что

1) $\forall\ x\in E:\ x\le\mu$ (т.е. $\mu$ -- одна из верхних границ множества $E$);

2) $\forall\ \varepsilon >0\quad\exists\ x_\varepsilon \in E:\ \mu-\varepsilon <x_\varepsilon $ (т.е. границу $\mu$ множества $E$ нельзя уменьшить).

Точная верхняя граница множества $E$ обозначается $\mu=\sup E$.

Аналогично определяется точная нижняя граница множества, которую обозначают $\nu=\inf E$:

1) $\forall\ x\in E:\ x\ge\nu$ (т.е. $\nu$ -- одна из нижних границ множества $E$);

2) $\forall\ \varepsilon > 0\quad\exists\ x_\varepsilon \in E:\ x_\varepsilon <\nu+\varepsilon $ (т.е. границу $\nu$ множества $E$ нельзя увеличить).

Точка $x_0\in (a,b)$ называется точкой разрыва функции $f$, если функция определена на интервале $(a,b)$, а в точке $x_0$ не определена или определена и в точке $x_0$, но не является непрерывной в ней.

Точка $x_0$ называется точкой разрыва первого рода функции $f$, если у функции $f$ существуют в этой точке конечные односторонние пределы. В противном случае точка $x_0$ называется точкой разрыва второго рода функции $f$.