В основе курса «Математический анализ» лежит понятие действительного числа и предела. В этом пособии натуральные числа считаются известными и на их основе вводятся последовательно целые, рациональные, действительные числа. Действительные числа есть конкретные объекты: бесконечные десятичные дроби. В них вводятся арифметические операции. Доказывается полнота множества действительных чисел: фундаментальное свойство, лежащее в основе теории.
Пособие разбито на 9 глав. Каждая глава состоит из параграфов, содержащих изложение соответствующего вопроса теории, примеры и задачи. В пособии принят дедуктивный подход. Сначала вводятся первичные (неопределяемые) понятия и основные положения, которые принимаются без доказательств, как данные практической деятельности человека, как всем известное, а далее изложение ведется по законам логики и внутренним потребностям того или иного раздела курса.
Первая глава посвящена элементам математической логики и теории множеств. В ней определяются операции над высказываниями, предикатами и множествами.
Во второй главе вводятся действительные числа. Доказана полнота множества действительных чисел на основе понятия стабилизируемости последовательности бесконечных десятичных дробей.
В третьей главе изложена стандартная теория предела числовой последовательности. Арифметические свойства сходящихся последовательностей доказаны с использованием понятия бесконечно малой последовательности.
В четвертой главе доказаны несколько фундаментальных теорем (Кантора, Больцано - Вейерштрасса, Коши) множества действительных чисел.
Пятая и шестая главы посвящены пределу и непрерывности функции. В них доказываются стандартные теоремы о непрерывных функциях на отрезке.
В седьмой главе изложены понятия производной и дифференциала функции. Доказаны теоремы о среднем, теорема Тейлора о приближении функции многочленом, правила Лопиталя вычисления пределов функции.
Восьмая и девятая главы посвящены интегралам от функции по промежутку. Доказана теорема Ньютона - Лейбница, приведены приложения определенного интеграла для вычисления длин кривых, площадей и объемов фигур. Приведены формулы для приближенного вычисления интегралов.
Авторы выражают благодарность рецензенту В.Т.Шевалдину и зав. кафедрой математического анализа и теории функций УрГУ В.В.Арестову за ценные замечания и полезные советы, способствовавшие улучшению пособия.