Программа курса «Введение в общую топологию»


Для подготовки дипломированных специалистов по специальности:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
010100 010101 математика

и для подготовки бакалавров, магистров по направлению:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
511200 010200 математика, прикладная математика

 

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ


Семестры 3, 4
Общая трудоемкость дисциплины 105 час.
в том числе лекций 70 час.
практических занятий –

 
ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Семестр Экзамен Зачёт
3  ν *   ν * 
4  ν *   ν * 
* по выбору студента
 
Составитель (разработчик) программы – Величко Николай Васильевич, доктор физ.-мат. наук, профессор;
Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный университет.

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА


Цель курса – ознакомить студентов младших курсов с основами Общей топологии. Рассматриваются основные топологические понятия, фундаментальные топологические операции и фундаментальные инварианты.


 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА


  1. Некоторые понятия теории множеств. Ординальные и кардинальные числа. Фундаментальные понятия топологии. Открытые и замкнутые множества. Базис и предбазис. Базис в точке. Точка прикосновения и операция замыкания. Плотные и нигде не плотные множества. Сепарабельность, первая и вторая аксиома счетности. Разделяющие примеры. Секвенциальность и свойство Фреше-Урысона. Внутренность и граница. Сходимость последовательностей. Фильтры.

    Непрерывность, секвенциальная непрерывность, гомеоморфизм. Примеры. Топологический инвариант. Примеры. Сравнение топологий. Верхняя и нижняя грань. Подпространство и фактор пространство. Произведение пространств. Произведение и диагональное произведение отображений. Слабые топологии. Классификация отображений: открытые, замкнутые и факторные отображения. Топологическая сумма. Примеры.

  2. Фундаментальные инварианты. Аксиомы отделимости. Хаусдорфовы, вполне регулярные и нормальные пространства. Поведение при топологических операциях. Теорема Титце-Урысона. Метризуемость. Метрическая топология. Ограниченность и полная ограниченность. Полнота и пополнение. Теорема Бэра о категориях. Теорема Урысона о метризации. Метризуемость счетного произведений. Компактность и локальная компактность. Счетная и секвенциальная компактность. Компактность в метрических пространствах. Теорема Тихонова. Теорема Александрова. Кардинальнозначные инварианты. Вес, характер, плотность, числа Суслина и Линделефа. Связность. Локальная связность. Линейная связность. Произведение связных пространств.


 

ЛИТЕРАТУРА


  1. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. – М. Изд-во МГУ, 1989. – 222 с.

 
© Уральский государственный университет, 2006
© Величко Н.В., составление, 2006