Программа курса «Прямые и обратные задачи теории потенциала»


Для подготовки дипломированных специалистов по специальности:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
010100 010101 математика

и для подготовки бакалавров, магистров по направлению:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
511200 010200 математика, прикладная математика

 

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ


Семестры 7, 8
Общая трудоемкость дисциплины 105 час.
в том числе лекций 70 час.
практических занятий –

 
ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Семестр Экзамен Зачёт
7  ν *   ν * 
8  ν *   ν * 
* по выбору студента
 
Составитель (разработчик) программы – Мартышко Петр Сергеевич, доктор физ.-мат. наук, профессор;
Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный университет.

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА


Рассматриваются методы решения прямых и обратных задач теории потенциала, вопросы существования и единственности решения обратных задач. Излагаются как классические, так и оригинальные результаты, их приложение к интерпретации реальных геофизических данных.

Предполагается знание математического анализа, теории функций комплексного переменного, основ функционального анализа.


 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА


  1. Специальные вопросы теории ньютоновского потенциала.
  2. Гравитационный потенциал, потенциал стационарного магнитного поля и стационарного электрического поля в проводящей среде. Их взаимная связь.
  3. Ньютоновский потенциал объемных масс, потенциал простого и двойного слоя. Их свойства.
  4. Первая и вторая производные ньютоновского потенциала объемных масс. Уравнения Лапласа и Пуассона. Их аналоги в электрических и магнитных полях.
  5. Задачи Дирихле и Неймана. Сведение к интегральным уравнениям 2 рода.
  6. Решение задачи Дирихле с помощью функций Грина. Интеграл Пуассона для сферы и плоскости (трехмерный и двумерный вариант).
  7. Обратная задача теории потенциала. Теоремы единственности решения при заданной плотности (теоремы Новикова, Сретенского, Шашкина, Симонова, Прилепко).
  8. Обратная задача для тела, близкого к данному (по В.К.Иванову).
  9. Представление внешнего поля при помощи трехмерных аналогов интегралов типа Коши (по М.С.Жданову).
  10. Граничная задача для электрического и магнитного потенциала в кусочно-однородных средах. Интегральные уравнения задачи для эквивалентного простого и двойного слоя.
  11. Уравнения теоретических обратных задач (трехмерных) гравимагниторазведки.
  12. Уравнения теоретических обратных задач (трехмерных) электроразведки с явно заданным оператором.
  13. Математическая теория двумерных потенциальных полей на базе теории функций комплексного переменного.
  14. Комплексная напряженность потенциального поля и ее связь с логарифмическим потенциалом.
  15. Уравнение контура области в комплексных переменных и его связь с напряженностью создаваемого ею поля. Представление внешнего поля ограниченной области интегралом типа Коши.
  16. Обратная задача теории логарифмического потенциала. Интегральное уравнение В.К.Иванова.
  17. Разрешимость обратной задачи в конечном виде. Классы потенциалов, для которых теоретическая обратная задача разрешима в конечном виде. Принципы их применения к интерпретации наблюденных потенциальных полей.
  18. Теория эквивалентных решений обратной задачи. Необходимые и достаточные условия эквивалентности однородных областей. Примеры эквивалентных семейств.
  19. Эквивалентность в случае переменной плотности. Сравнительная оценка степени неоднозначности решения.
  20. Представление внешних полей от границ раздела (контактных поверхностей) двух сред интегралами типа Коши.
  21. Теоретическая обратная задача для границ раздела. Основные отличия обратной задачи для границ раздела по сравнению с ограниченными объектами.
  22. Теоретическая обратная задача магниторазведки с учетом размагничивания.

 

ЛИТЕРАТУРА


  1. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.Л.: Гостехиздат, 1946.
  2. Цирульский А.В. Функции комплексного переменного в теории и методах потенциальных геофизических полей. Свердловск: Наука, 1990.
  3. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука, 1984.
  4. Мартышко П.С. Некоторые вопросы теории и алгоритмы решения задач метода подмагничивания. Свердловск: Наука, 1982.
  5. Мартышко П.С. Обратные задачи электромагнитных геофизических полей. Екатеринбург: Наука, 1996.

 
© Уральский государственный университет, 2006
© Мартышко П.С., составление, 2006