Программа курса «Ортогональные полиномы»


Для подготовки дипломированных специалистов по специальности:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
010100 010101 математика

и для подготовки бакалавров, магистров по направлению:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
511200 010200 математика, прикладная математика

 

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ


Семестр 5 или 7
Общая трудоемкость дисциплины 54 час.
в том числе лекций 36 час.
практических занятий –

 
ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Семестр Экзамен Зачёт
5 или 7  ν *   ν * 
* по выбору студента
 
Составитель (разработчик) программы – Бадков Владимир Михайлович, доктор физ.-мат. наук, профессор;
Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный университет.

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА


Теория ортогональных полиномов – одна из ветвей математического анализа. Первые результаты об ортогональных полиномах были получены в конце 18-го и в начале 19-го веков, но интенсивно теория ортогональных полиномов начала развиваться с середины 19-го века. Огромный вклад в становление и развитие этой теории внесли и российские математики.

Обладая ценными экстремальными и аппроксимативными свойствами, ортогональные полиномы находят все новые и новые применения в математике и других науках. В настоящее время известно много типов ортогональных полиномов. Спецкурс посвящен трем из них – 1) многочленам, ортогональным на окружности, 2) тригонометрическим ортогональным полиномам и 3) многочленам, ортогональным на отрезке. Эти типы ортогональных полиномов удобно изучать в рамках единой теории, основоположником которой является Г. Сегё. В начале 20-х годов 20-го века Г. Сегё ввел в рассмотрение многочлены, ортогональные на окружности и выразил через них многочлены, ортогональные на отрезке. Г. Сегё получил также асимптотические представления многочленов, ортогональных на окружности, в терминах функции, носящей ныне его имя. Д. Джексон в 1933 году ввел в рассмотрение ортогональные с весом тригонометрические полиномы. В 1963 году Г. Сегё установил связь этих полиномов с многочленами, ортогональными на окружности, и пользуясь принадлежащими ему асимптотическими представлениями последних, доказал теорему равносходимости с обычным рядом Фурье ограниченной функции ее ряда Фурье по тригонометрическим полиномам, ортогональным с достаточно гладким положительным весом.

Дальнейшие результаты о единой теории рассматриваемых трех типов систем ортогональных полиномов и рядов Фурье по ним принадлежат лектору.

Примерно треть содержания спецкурса составляют результаты, опубликованные лишь в журнальных статьях.

В вводной части спецкурса приведены сведения об ортогональных полиномах в пространствах со скалярным произведением. При этом под полиномами понимаются линейные комбинации конечного числа элементов линейно независимой последовательности. Вводная часть спецкурса завершается примерами скалярных произведений и ортогональных относительно них рациональных функций, а также алгебраических и тригонометрических полиномов. В основной части спецкурса (она делится на вторую, третью и четвертую его части) излагаются главным образом алгебраические свойства этих полиномов в рамках единой теории (асимптотические и аппроксимативные свойства ортогональных полиномов являются содержанием другого спецкурса, читаемого лектором).

Во второй части спецкурса излагается ряд свойств многочленов, ортогональных на окружности. В частности, выводятся рекуррентные соотношения и аналоги формулы Кристоффеля-Дарбу. Из последних выводятся свойства нулей и доказывается поточечное неравенство Турана и его обобщение.

В третьей части спецкурса для введенных лектором рациональных функций, ортогональных на окружности, устанавливаются выражения через соответствующие ортогональные многочлены. Это позволяет установить соотношения между ядрами Кристоффеля-Дарбу для тригонометрических ортогональных полиномов и многочленов, ортогональных на окружности, а также между полиномами этих двух систем. Свойства нулей тригонометрических ортогональных полиномов устанавливаются тоже с помощью формул, выражающих их через многочлены, ортогональные на окружности.

В четвертой части спецкурса многочлены, ортогональные на отрезке, выражаются через многочлены, ортогональные на окружности, и тригонометрические ортогональные полиномы. Свойства нулей многочленов, ортогональных на отрезке, выводятся из свойств нулей тригонометрических ортогональных полиномов. Несколько лекций посвящено многочленам Якоби (формула Родрига, дифференциальное уравнение, связь с гипергеометрической функцией, формула дифференцирования, рекуррентное соотношение, формула Кристоффеля-Дарбу). Кроме того, вычисляются коэффициенты разложения многочлена Якоби одной системы по многочленам Якоби другой системы. Последний результат находит применения при исследовании равносходимости ряда Фурье-Якоби с рядом Фурье-Чебышева.


 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА


  1. Предварительные сведения из теории пространств со скалярным произведением.
  2. Процесс ортогонализации Шмидта.
  3. Первый критерий ортогональности.
  4. Детерминантные представления ортонормальной системы в пространстве со скалярным произведением.
  5. Ряд Фурье в пространстве со скалярным произведением.
  6. Определения алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов.
  7. Теорема Сегё о явном выражении многочлена, ортогонального на окружности с весом специального вида (являющимся минус первой степенью положительного тригонометрического полинома).
  8. Выражение элементов системы {Rσ,n(z)}∞n=0, полученной при ортогонализации последовательности 1,z,z-1,z2,z-2,... на единичной окружности Г1 по мере dσ(τ), через многочлены, ортогональные на Г1 с той же мерой (– результат лектора).
  9. Рекуррентные формулы и формула Кристоффеля-Дарбу для многочленов, ортогональных на отрезке.
  10. Аналог формулы Кристоффеля-Дарбу для многочленов, ортогональных на окружности.
  11. Рекуррентные соотношения для многочленов, ортогональных на окружности.
  12. Неравенство Турана и его обобщение (: лектором).
  13. Выражение действительных и мнимых частей полиномов Rσ,2n-1(eiτ) и Rσ,2n(eiτ) через полиномы порядка n системы тригонометрических полиномов Tσ,k(τ), полученной при ортогонализации методом Шмидта по мере dσ(τ) на периоде последовательности 1, cos τ, sin τ, cos 2τ, sin 2τ, ... ( результат лектора). Получение в виде следствий формул Сегё, связывающих многочлены, ортогональные на отрезке и на окружности.
  14. Формула приращения аргумента многочлена, ортогонального на окружности, при переходе из одной её точки в другую, и её применение к доказательству простоты и перемежаемости нулей полиномов T2n-1(τ) и T2n(τ) ( результаты лектора).
  15. Простота нулей многочленов, ортогональных на отрезке. Доказательтво (принадлежащее лектору) перемежаемости нулей многочленов с соседними номерами, ортогональных на прямой (в частности, на отрезке), с использованием соответствующих свойств тригонометрических ортогональных полиномов.
  16. Квадратурная формула типа Гаусса. Функция и коэффициенты Кристоффеля.
  17. Многочлены Якоби.
  18. Многочлены Лагерра и Эрмита.

 

ЛИТЕРАТУРА


  1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. – М.: Мир, 1968.
  2. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. – М.: ГИФМЛ, 1961.
  3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. Пер. с англ. 2-е изд. – М.: Наука, 1974.
  4. Геронимус Я.Л. Теория ортогональных многочленов (обзор достижений отечественной математики). – М.: Гостехиздат, 1950.
  5. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке. – М.: Физматгиз, 1958.
  6. Гренандер У., Сегё Г. Тёплицевы формы и их приложения. – М.: ИЛ, 1961.
  7. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы.- М.: ИЛ., 1948.
  8. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. – М.: ГИТТЛ. М.-Л.,1949.
  9. Никифоров А.Ф., Суслов С.К., Уваров В.Б. Классические ортогональные полиномы дискретной переменной. – М.: Наука, 1985.
  10. Никишин Е.М., Сорокин В.Н. Рациональные аппроксимации и ортогональность. М.: Наука, 1988.
  11. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышёва. Пер. с польск. – М.: Наука, 1983.
  12. Сегё Г. Ортогональные многочлены. – М.: Физматгиз, 1962.
  13. Смирнов В.И., Лебедев Н.А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. – М.-Л.: Наука, 1964.
  14. Суетин П.К. Многочлены, ортогональные по площади и многочлены Бибербаха. // Труды МИАН СССР. Т. 100. М.: Наука, 1971.
  15. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. Изд. 2-е, дополненное. – М.: Наука, 1979.
  16. Суетин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным. – М.: Наука, 1988.

 
© Уральский государственный университет, 2006
© Бадков В.М., составление, 2006