ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

ЛИТЕРАТУРА

Программа курса «Гармонический анализ»

Для подготовки дипломированных специалистов по специальности:

код по ГОС ВПО	код по ОКСО	наименование
010100	010101	математика

и для подготовки бакалавров, магистров по направлению:

код по ГОС ВПО	код по ОКСО	наименование
511200	010200	математика, прикладная математика

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ

Семестр		5
Общая трудоемкость дисциплины		54 час.
в том числе	лекций	–
	семинарских занятий	36 час.

ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Семестр	Экзамен	Зачёт
6	ν ^*	ν ^*

^* по выбору студента

Разработчики программы –	Арестов Виталий Владимирович, доктор физ.-мат. наук, профессор,
	Черных Николай Иванович, доктор физ.-мат. наук, профессор,
Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный университет.

Цель курса &nadsh; изложить основные понятия и результаты теории преобразования Фурье на пространстве R^m. Материал этого курса необходим для многих общих и специальных курсов, в частности, для строгого изложения теории ортогональных и биортогональных всплесков. Спецкурс рекомендуется студентам математических специальностей, начиная с пятого семестра, включая магистратуру.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Мера и интеграл Лебега в R^m. Теорема Фубини. Пространства L_p=L_p(R^m), 1≤p≤∞. Свертка двух функций.
Преобразование Фурье в пространстве L=L₁(R^m). Простейшие свойства преобразования Фурье; теорема Римана-Лебега. Преобразование Фурье свертки суммируемых функций. Дифференцирование преобразования Фурье суммируемой функции. Преобразование Фурье производной в L суммируемой функции. Методы суммирования интегралов. Ядра Абеля и Гаусса-Вейерштрасса; их преобразования Фурье. Теорема умножения для преобразований Фурье суммируемых функций. Обращение в L преобразования Фурье суммируемой функции. Дифференцирование почти всюду интеграла Лебега локально cуммируемой функции. Точки Лебега локально суммируемой функции. Поточечное обращение преобразования Фурье суммируемой функции.
Преобразование Фурье в пространстве L₂=L₂(R^m). Лемма о норме в L₂ преобразования Фурье функций из L₁∩L₂. Конструкция преобразования Фурье функции из L₂. Свойство изометричности оператора Фурье в L₂. Конструкция обратного оператора для оператора Фурье на L₂. Равенство Парсеваля и обобщенное равенство Парсеваля.
Обобщенные функции медленного роста. Пространство S бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Топология. Основные свойства. Преобразование Фурье и свертка функций из S. Основные топологические свойства пространства S и пространства D бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем. Пространство S ' обобщенных функций медленного роста. Конкретные элементы этого пространства. Характеризация элементов из S '. Свертка обобщенной и основной функций. Преобразование Фурье обобщенной функции. Преобразование Фурье функций из L_p(R^m), 1≤p≤∞ как обобщенных функций. Лемма Соболева. Представление линейных ограниченных операторов, коммутирующих со сдвигом, из L_p в L_q, в частности, из L₂ в L₂, из L₁ в L₁ и из L_∞ в L_∞.

ЛИТЕРАТУРА

Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974.
Шилов Г.Е., Математический анализ. Второй специальный курс. – М.: Наука, 1965. – 327 с.
Титчмарш Е. Преобразование Фурье. – М.: ИЛ, 1949.
Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука. 1989.
Schwartz L. Theorie des distributions, I, II. – Act. Sci. Ind., 1091, 1122, Paris, 1951.
Рисс Ф., Надь Б.С. Лекции по функциональному анализу. – М.: ИЛ, 1954.
Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. – М.: Доросвет, 2000. – 412 с.
Xалмош П. Теория меры. – М.: ИИЛ, 1953. – 290 c.