Программа курса "Асимптотические методы в анализе"
Для подготовки бакалавров по направлению:
| код по ГОС ВПО |
код по ОКСО |
наименование |
| 511200 |
010200 |
математика, прикладная математика |
| Семестр |
5 |
| Общая трудоемкость дисциплины |
60 час. |
| в том числе |
лекций |
36 час. |
| практических занятий |
– |
| КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ |
| Коллоквиум |
– |
| Контрольные работы |
1 |
| ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ |
| Семестр |
Экзамен |
Зачёт |
| 5 |
– |
v |
| Составитель (разработчик) программы –
| Данилин Алексей Руфимович, доктор физ.-мат. наук, профессор; |
| Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный университет. |
Специальный курс «Асимптотические методы в анализе» читается на математико-механическом факультете в течение 5 семестра.
Цель этого курса – изложить основные понятия и методы асимптотического анализа, теории возмущений, как регулярных, так и сингулярных; проиллюстрировать основные методы на содержательных примерах, показать возможные сферы применения и дальнейшего обобщения.
Контрольная работа призвана дать навык самостоятельного применения основных методов в модельных задачах.
- Асимптотические представления функций. Калибровочные последовательности, определение асимптотического ряда; свойства асимптотических рядов: линейная комбинация, умножение, деление, интегрирование; единственность асимптотического разложения по заданной калибровочной последовательности функций, эквивалентность различных определений разложения функции в асимптотический ряд.
- Степенные асимптотические ряды. Теорема о существовании непрерывной функции, разлагающейся в заданный степенной асимптотический ряд, асимптотические разложения композиции и обратной функции, асимптотические разложения решений трансцендентных уравнений уравнений.
- Асимптотические разложения сумм. Использование группового и одиночного преобладание, интегральные оценки и степенные суммы.
- Асимптотические разложения интегралов. Использование интегрирования по частям; метод введения промежуточного параметра; метод Лапласа (различные случай достижения максимума показателя экспоненты: на границе интервала интегрирования и во внутренней точке); метод стационарной фазы (отсутствие стационарных точек фазы, наличие конечного числа стационарных точек на интервале); асимптотика функции Бесселя при больших значениях аргумента; метод перевала; асимптотика функции Эйри при больших значениях аргумента.
- Асимптотика решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка при больших значениях аргумента. Преобразования Лиувилля, построение формальной асимптотики для фундаментальной системы решений стандартного уравнения (малое возмущение линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нулевым коэффициентом при первой производной), обоснование построенной асимптотики сведением к интегральному уравнению и применением теоремы Банаха о сжимающем отображении).
- Асимптотика решений краевых задач. Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнений второго порядка и условия их разрешимости, априорные оценки; сингулярно возмущенные краевые задачи; построение внешнего разложения, функции пограничного слоя и построение внутреннего разложения, обоснование полученной асимптотики.
- Метод двух масштабов. Почти периодические движения, проблема описания при больших временах (возникновение вековых слагаемых), формальное построение асимптотики методом двух масштабов, обоснование построенной асимптотики.
ОСНОВНАЯ
- Де Брейн. Асимптотические методы в анализе. – М.: ИЛ, 1961. – 247 с.
- Евграфов М.И. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Физматгиз, 1962, 200 с.
- Найфэ А. Х. Методы возмущений. – М.: Мир, 1976. – 455 с.
- Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1983. – 352 с.
- Федорюк М.В. Метод перевала. – М.: Наука, 1977. – 368 с.
- Эрдеи А. Асимптотические разложения. – М.: Физматгиз, 1962. – 127 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
- Вазов В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1968. – 464 с.
- Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. – М.: Наука, 1989. – 334 с.
- Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. – М.: Мир, 1972. – 274 с.
- Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. – М.: Наука, 1978. – 376 с.
© Уральский государственный университет, 2006
© Данилин А.Р., составление, 2006