Программа курса "Аппроксимативные методы моделирования непрерывных процессов"


Для подготовки дипломированных специалистов по специальности:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
010100 010101 математика

и для подготовки бакалавров, магистров по направлению:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
511200 010200 математика, прикладная математика

 

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ


Семестр 8
Общая трудоемкость дисциплины 51 час.
в том числе лекций 34 час.
практических занятий –

 
КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ
Коллоквиум  – 
Контрольные работы  1 

 
ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Семестр Экзамен Зачёт
6  ν *   ν * 
* по выбору студента
 
Составитель (разработчик) программы – Субботин Юрий Николаевич, доктор физ.-мат. наук, профессор;
Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный университет.

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА


Курс посвящен двум современным и наиболее популярным методам численного решения уравнений с частными производными – методу конечных (МКЭ) и методу граничных элементов (МГЭ), другое название которого – метод граничных интегральных уравнений. Эти методы широко и успешно применяются при решении различных прикладных задач: расчет на прочность различных сооружений и деталей машин, задачи обтекания, задачи на собственные значения и другие прикладные задачи, математическая модель которых приводит к необходимости решать обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения с частными производными. Для реализации этих методов широко используются методы математического анализа, линейной алгебры, функционального анализа и теории приближения функций. Кроме того, в курсе дается представление о всплесках и фракталах.

Цель и задачи курса – дать студентам математико-механического факультета фундаментальные знания по методам конечных и граничных элементов, указать основные современные тенденции в развитии этих методов и заложить основы по практическому применению этих методов при решении прикладных задач.


 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА


  1. Введение. Основные идеи метода конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов. Примеры практических задач, решаемых указанными методами.
  2. Метод конечных элементов для эллиптических задач. Линейные и билинейные формы: ограниченность, коэрцетивность. Общая схема Ритца, существование и единственность точного и приближенного решения. Общие оценки погрешности. Функциональные гильбертовы и банаховы прсотранства. Метод конечных элементов (МКЭ) для гармонического уравнения: триангуляция, линейные и билинейные базисные функции, формирование локальных и глобальных матриц жесткости и массы и локального и глобального векторов нагрузки.
  3. Различные типы триангуляций и базисных функций, оценки погрешности аппроксимации интерполяционными кусочно полиномиальными функциями.
  4. МКЭ для эллиптических краевых задач более высокого порядка: бигармоническое уравнение, расчет тонких упругих оболочек.
  5. Метод граничных элементов. Понятие фундаментального решения и функции Грина. Вывод граничного интегро-дифференциального уравнения для краевой задачи. Вывод уравнения, связывающего решение внутри области через его значения и значения некоторых его производных на границе. Дискретизация. Анализ соответствующей ли-нейной алгебраической системы. Методы построения фундаментальных решений, частично удовлетворяющих однородным граничным условиям.
  6. Метод конечных элементов для параболических и гиперболических задач. Линейные задачи и полудискретные методы их численного решения. Схема Кранка-Никольсона (дробных шагов). Нелинейные задачи. Схема предиктор-корректор. Определение граничных условий для соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
  7. МКЭ в задачах на собственные значения.
  8. Некоторые современные вариации и модификации МКЭ. Криволинейная триангуляция. Анализ Якобианов преобразования криволинейных треугольников, симплексов, четырехугольников в стандартные. Нерешенные задачи. Понятие о переходных элементах. Применение в МКЭ неполиномиальных базисных функций (дробно-рациональные, всплески и др.). Понятие о  p, h и (h-p)-вариантах МКЭ. В-сплайны в МКЭ. Согласованные и несогласованные базисные функции.
  9. Интерполяционные всплески. Преобразование Фурье. Ортонормируемые всплески. Условие ортонормируемости в терминах преобразования Фурье. Пирамидальная схема. Понятие о фрактальных сжатиях.

 

ПРИМЕРНЫЙ СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ ИЛИ ЭКЗАМЕНУ


  1. Линейные и билинейные формы: ограниченность, коэрцетивность. Общая схема Ритца, существование и единственность точного и приближенного решения. Общие оценки погрешности.
  2. МКЭ для гармонического уравнения.
  3. Расчет тонких упругих оболочек.
  4. Метод граничных элементов.
  5. МКЭ для параболических и гиперболических задач.
  6. Нелинейные задачи. Схема предиктор-корректор. Определение граничных условий для соответствующих систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

ЛИТЕРАТУРА


  1. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. – М.: Мир, 1980.
  2. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975.
  3. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. – М.: Наука, 1980.
  4. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. – М.: Мир, 1977.
  5. Уэйт Р., Митчелл А. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1981.
  6. Бенерджи П., Баттерфильд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. – М.: Мир, 1984.
  7. Бребия Н., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. – М.: Мир, 1982.
  8. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир, 1981.
  9. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. – М.; Ижевск: РХД, 2004.
  10. Чуи Ч. К. Введение в вэйвлеты. – М.: Мир, 2001.

 
© Уральский государственный университет, 2006
© Субботин Ю.Н., составление, 2006