Программа курса "Приближение функций"


Для подготовки дипломированных специалистов по специальности:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
010100 010101 математика

и для подготовки бакалавров по направлению:
 
код по ГОС ВПО код по ОКСО наименование
511200 010200 математика, прикладная математика

 

ОБЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ


Семестр 6
Общая трудоемкость дисциплины 60 час.
в том числе лекций 34 час.
практических занятий –

 
КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ
Коллоквиум  – 
Контрольные работы  – 

 
ФОРМА ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ
Семестр Экзамен Зачёт
6  ν *   ν * 
* по выбору студента
 
Составитель (разработчик) программы – Субботин Юрий Николаевич, доктор физ.-мат. наук, профессор;
Кафедра математического анализа и теории функций, Уральский государственный университет.

 

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА


В курсе рассматриваются общие вопросы теории приближения, некоторые классы задач теории приближения функций одного и многих переменных, которые часто встречаются в прикладных вопросах.

Основная цель – познакомить с классическими и современными методами решения задач теории приближения: интерполирование, наилучшее приближение, сплайны, всплески. Сделать обзор результатов и литературы по данной тематике, включая последние публикации.

Курс призван способствовать формированию необходимой математической культуры по одному из фундаментальных разделов математики.


 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА


  1. Общие постановки задач теории приближения функций.
  2. Теоремы существования и единственности элемента наилучшего приближения (ЭНП).
  3. Приближение в гильбертовых пространствах. Существование ЭНП в любом подпространстве. Критерий ЭНП. Построение ЭНП.
  4. Наилучшее равномерное приближение алгебраическими многочленами. Теоремы Чебышева и Валле-Пуссена. Единственность. Проблема Хаара.
  5. Полиномы Чебышева. Неравенства Маркова.
  6. Наилучшее приближение рациональными дробями.
  7. Интерполяционные многочлены. Константы Лебега. Неравенство Лебега.
  8. Модули непрерывности и гладкости и их свойства.
  9. Наилучшее равномерное приближение непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами.
  10. Теорема Фавара и классы Wr. Свойства сумм Фавара.
  11. Теорема Джексона-Стечкина.
  12. Неравенство Бернштейна. Интерполяционная формула Рисса и распространение нера-венства Бернштейна на Lp.
  13. Теорема Черных в L2.
  14. Поперечники по Колмогорову. Наилучшие неравенства Маркова в смысле Л.В. Тайкова.
  15. Линейные методы суммирования.
  16. Сплайны – параболические и кубические.
  17. Вывод системы для нахождения параметров интерполяционных параболических и кубических сплайнов.
  18. Оценки погрешности аппроксимации.
  19. Сплайны нечетной степени. Первое и второе интегральные соотношения.
  20. Оценки погрешности аппроксимации в L2 и Lp.
  21. Экстремальность сплайнов как экстремальных подпространств для поперечников.
  22. Экстремальная интерполяция. Неравенства Маркова для сплайнов. Приложение к поперечникам.
  23. Многомерная кусочно полиномиальная аппроксимация. Связь с методом конечных элементов.
  24. Понятие о всплесках.

 

ПРИМЕРНЫЙ СПИСОК ВОПРОСОВ К ЗАЧЁТУ ИЛИ ЭКЗАМЕНУ


  1. Теоремы существования и единственности ЭНП.
  2. Приближение в гильбертовых пространствах. Существование ЭНП в любом подпространстве. Критерий ЭНП. Построение ЭНП.
  3. Наилучшее равномерное приближение алгебраическими многочленами. Теоремы Чебышева и Валле-Пуссена. Единственность. Проблема Хаара.
  4. Интерполяционные многочлены. Константы Лебега. Неравенство Лебега.
  5. Модули непрерывности и гладкости и их свойства.
  6. Теорема Фавара и классы Wr. Свойства сумм Фавара.
  7. Теорема Джексона-Стечкина.
  8. Неравенство Бернштейна. Интерполяционная формула Рисса и распространение неравенства Бернштейна на Lp.
  9. Теорема Н.И. Черных в L2.
  10. Поперечники по Колмогорову. Наилучшие неравенства Маркова в смысле Л.В.Тайкова.
  11. Сплайны нечетной степени. Первое и второе интегральные соотношения.
  12. Оценки погрешности аппроксимации в L2 и Lp.
  13. Экстремальность сплайнов как экстремальных подпространств для поперечников.
  14. Многомерная кусочно полиномиальная аппроксимация. Связь с методом конечных элементов.

 

ЛИТЕРАТУРА


  1. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука. 1976. – 320 с.
  2. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. – М.: Наука. 1987. – 424 с.
  3. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. – М.: Мир. 1972. – 318 с.

 
© Уральский государственный университет, 2006
© Субботин Ю.Н., составление, 2006